14．已知函數(shù)f（x）=alnx^x+bx，（x∈（0，+∞）的圖象過(guò)點(diǎn)（$\frac{1}{e}$，-$\frac{1}{e}$），且在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+y-e=0垂直．
（1）求a，b的值．
（2）若存在x₀∈[$\frac{1}{e}$，e]（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，且e=2.71828…），使得不等式f（x₀）=$\frac{1}{2}$x₀²-$\frac{1}{2}$tx₀≥-$\frac{3}{2}$成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的圖象上從左至右依次存在三個(gè)點(diǎn)B（b，f（b）），C（c，f（c）），D（d，f（d）），且2c=b+d，求證：f（b）+f（d）-2f（c）＜（d-b）ln2．

13．如圖，在三棱柱∠DOT=2∠DMB中，已知∠BMC=30°．，AB=BC=1，BB₁=2，$∠BC{C_1}=\frac{π}{3}$．
（1）求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）設(shè)$\overrightarrow{CE}=λ\overrightarrow{C{C_1}}$（0≤λ≤1），且平面AB₁E與BB₁E所成的銳二面角的大小為30°，試求λ的值．

12．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O₁為底面的中心，則O₁A與上底面A₁B₁C₁D₁所成角的正切值是（　　）

A．

1

B．

$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

C．

$\sqrt{2}$

D．

2$\sqrt{2}$

11．已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙C₁：（x+3）²+（y-1）²=4，⊙C₂與⊙C₁關(guān)于直線1：4x+8y-31=0對(duì)稱．
（1）求⊙C₂的方程；
（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足下列條件：過(guò)點(diǎn)P存在無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l₁和l₂，它們分別與⊙C₁和⊙C₂相交，且直線l₁被⊙C₁截得的弦長(zhǎng)與直線l₂被⊙C₂截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

10．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2，棱AD與平面α所成的角θ∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]，且頂點(diǎn)A在平面α內(nèi)，B，C，D均在平面α外，則棱BC的中點(diǎn)E到平面α的距離的取值范圍是（　�。�

A．

[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]

B．

[$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，1]

C．

[$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2}$]

D．

[$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{3}$]

9．已知直線l的方程為2x+（1+m）y+2m=0，m∈R，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值；
（3）設(shè)點(diǎn)P在直線l上的射影為點(diǎn)M，N的坐標(biāo)為（2，1），求線段MN長(zhǎng)的取值范圍．

8．設(shè)函數(shù)f（x）=2（a+1）$\sqrt{x}$，g（x）=lnx+bx（a，b∈R），直線y=x+1是函數(shù)y=f（x）圖象的一條切線．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）-g（x）在其定義域有兩個(gè)極值點(diǎn)．
①試求b的取值范圍；
②證明：若函數(shù)y=f（x）-g（x）在其定義域內(nèi)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂則$\frac{g（{x}_{1}）+g（{x}_{2}）}{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}$≤$\frac{1}{{e}^{2}}$+$\frac{1}{2}$．

7．已知點(diǎn)P（1，3），Q（1，2）．設(shè)過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線與拋物線y=x²交于A，B兩點(diǎn)，直線AQ，BQ與該拋物線的另一交點(diǎn)分別為C，D．記直線AB，CD的斜率分
別為k₁，k₂．
（Ⅰ）當(dāng)k₁=0時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；
（Ⅱ）當(dāng)k₁≠2時(shí)，$\frac{{k}_{2}-2}{{k}_{1}-2}$是否為定值？若是，求出該定值．

6．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，給出以下命題：
①直線A₁B與B₁C所成的角為60°；
②動(dòng)點(diǎn)M在表面上從點(diǎn)A到點(diǎn)C₁經(jīng)過(guò)的最短路程為1+$\sqrt{2}$；
③若N是線段AC₁上的動(dòng)點(diǎn)，則直線CN與平面BDC₁所成角的正弦值的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]；
④若P、Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且PQ=1，則四面體PQB₁D₁的體積恒為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
則上述命題中正確的有①③④．（填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)）

5．將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，在折起后形成的三棱錐D-ABC中，給出下列三個(gè)命題：
①△DBC是等邊三角形；  
②AC⊥BD；  
③三棱錐D-ABC的體積是$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．
其中正確命題的序號(hào)是（　�。�

A．

①③

B．

①②

C．

②③

D．

①②③