Question

6．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，給出以下命題：
①直線A₁B與B₁C所成的角為60°；
②動(dòng)點(diǎn)M在表面上從點(diǎn)A到點(diǎn)C₁經(jīng)過的最短路程為1+$\sqrt{2}$；
③若N是線段AC₁上的動(dòng)點(diǎn)，則直線CN與平面BDC₁所成角的正弦值的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]；
④若P、Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且PQ=1，則四面體PQB₁D₁的體積恒為$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
則上述命題中正確的有①③④．（填寫所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①先證明A₁B與A₁D所成角為60°，又B₁C∥A₁D，可得直線A₁B與B₁C所成的角為60°，判斷①正確；
②將面AB₁與面A₁C₁展開，那么動(dòng)點(diǎn)M在表面上從點(diǎn)A到點(diǎn)C₁經(jīng)過的最短路程為$\sqrt{5}$判斷②錯(cuò)誤；
③由平面BDC₁⊥平面ACC₁，結(jié)合線面角的定義分別求出直線CN與平面BDC₁所成角的正弦值最大值與最小值判斷③正確；
④在PQ變化過程中，四面體PQB₁D₁的頂點(diǎn)D₁到底面B₁PQ的距離不變，底面積不變，則體積不變，求出體積判斷④正確．

解答 解：①在△A₁BD中，每條邊都是$\sqrt{2}$，即為等邊三角形，∴A₁B與A₁D所成角為60°，
又B₁C∥A₁D，∴直線A₁B與B₁C所成的角為60°，正確；
②將面AB₁與面A₁C₁展開，那么動(dòng)點(diǎn)M在表面上從點(diǎn)A到點(diǎn)C₁經(jīng)過的最短路程為AC₁，AC₁=$\sqrt{5}$，錯(cuò)誤；
③如圖，由正方體可得平面BDC₁⊥平面ACC₁，當(dāng)N點(diǎn)位于AC₁上，且使CN⊥平面BDC₁時(shí)，直線CN與平面BDC₁所成角的正弦值最大為1，
當(dāng)N與C₁重合時(shí)，連接CN交平面BDC₁所得斜線最長(zhǎng)，直線CN與平面BDC₁所成角的正弦值最小等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線CN與平面BDC₁所成角的正弦值的取值范圍是[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1]，正確；

④連接B₁P，B₁Q，設(shè)D₁到平面B₁AC的距離為h，則h=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，B₁到直線AC的距離為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
則四面體PQB₁D₁的體積V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{2}{3}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$，正確．
∴正確的命題是①③④．
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．