【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求證：恒成立；

（2）若關于的方程至少有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的最小值.

【題目】設為集合的子集，且，若，則稱為集合的元“大同集”.

（1）寫出實數(shù)集的一個二元“大同集”；

（2）是否存在正整數(shù)集的二元“大同集”，請說明理由；

（3）求出正整數(shù)集的所有三元“大同集”．

【題目】對稱軸為坐標軸的橢圓的焦點為，，在上.

（1）求橢圓的方程；

（2）設不過原點的直線與橢圓交于，兩點，且直線，，的斜率依次成等比數(shù)列，則當的面積為時，求直線的方程.

【題目】近年來鄭州空氣污染較為嚴重，現(xiàn)隨機抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣中指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下：

記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟損失為（單位：元），指數(shù)為．當在區(qū)間內(nèi)時對企業(yè)沒有造成經(jīng)濟損失；當在區(qū)間內(nèi)時對企業(yè)造成經(jīng)濟損失成直線模型（當指數(shù)為150時造成的經(jīng)濟損失為500元，當指數(shù)為200時，造成的經(jīng)濟損失為700元）；當指數(shù)大于300時造成的經(jīng)濟損失為2000元．

（1）試寫出的表達式；

（2）試估計在本年內(nèi)隨機抽取一天，該天經(jīng)濟損失大于500元且不超過900元的概率；

（3）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關？

附：

，其中．

【題目】北京時間3月15日下午，谷歌圍棋人工智能與韓國棋手李世石進行最后一輪較量， 獲得本場比賽勝利，最終人機大戰(zhàn)總比分定格.人機大戰(zhàn)也引發(fā)全民對圍棋的關注，某學校社團為調查學生學習圍棋的情況，隨機抽取了100名學生進行調查.根據(jù)調查結果繪制的學生日均學習圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學習圍棋時間不低于40分鐘的學生稱為“圍棋迷”.

（Ⅰ）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有的把握認為“圍棋迷”與性別有關？

（Ⅱ）將上述調查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)在從該地區(qū)大量學生中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名學生，抽取3次，記被抽取的3名淡定生中的“圍棋迷”人數(shù)為。若每次抽取的結果是相互獨立的，求的平均值和方差.

附： ，其中.

在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．　

（1）當時，求曲線和曲線的交點的直角坐標；

（2）當時，設， 分別是曲線與曲線上動點，求的最小值．

【題目】設橢圓的方程為（），點為坐標原點，點， 的坐標分別為， ，點在線段上，滿足，直線的斜率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若斜率為的直線交橢圓于， 兩點，交軸于點（），問是否存在實數(shù)使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求的值，若不存在，說出理由．

【題目】—只螞蟻在三邊長分別為，，的三角形內(nèi)自由爬行，某時刻該螞蟻距離三角形的任意一個頂點的距離不超過的概率為（ ）

A. B. C. D.

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面，且， ， 是邊的中點．

（1）求證： 平面；

（2）若是線段上的動點（不含端點）：問當為何值時，二面角余弦值為．