若（2x-1）⁷=a₇x⁷+a₆x⁶+…+a₁x+a₀，則a₇+a₅+a₃+a₁=______．

（1）若（1+x）ⁿ的展開(kāi)式中，x³的系數(shù)是x的系數(shù)的7倍，求n；
（2）若（ax+1）⁷（a≠0）的展開(kāi)式中，x³的系數(shù)是x²的系數(shù)與x⁴的系數(shù)的等差中項(xiàng)，求a；
（3）已知（2x+x^lgx）⁸的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的值等于1120，求x．

楊輝是中國(guó)南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)，楊輝三角中蘊(yùn)藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．如圖是一個(gè)11階楊輝三角：
（1）求第20行中從左到右的第4個(gè)數(shù)；
（2）若第n行中從左到右第14與第15個(gè)數(shù)的比為

2

3

，求n的值；
（3）求n階（包括0階）楊輝三角的所有數(shù)的和；
（4）在第3斜列中，前5個(gè)數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個(gè)數(shù)為35．顯然，1+3+6+10+15=35．事實(shí)上，一般地有這樣的結(jié)論：第m斜列中（從右上到左下）前k個(gè)數(shù)之和，一定等于第m+1斜列中第k個(gè)數(shù)．試用含有m、k（m，k∈N×）的數(shù)學(xué)公式表示上述結(jié)論，并給予證明．

第0行												1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第1斜列
第1行											1		1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第2斜列
第2行										1		2		1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第3斜列
第3行									1		3		3		1	…	…	…	…	…	…	…	…	…	第4斜列
第4行								1		4		6		4		1	…	…	…	…	…	…	…	…	第5斜列
第5行							1		5		10		10		5		1	…	…	…	…	…	…	…	第6斜列
第6行						1		6		15		20		15		6		1	…	…	…	…	…	…	第7斜列
第7行					1		7		21		35		35		21		7		1	…	…	…	…	…	第8斜列
第8行				1		8		28		56		70		56		28		8		1	…	…	…	…	第9斜列
第9行			1		9		36		84		126		126		84		36		9		1	…	…	…	第10斜列
第10行		1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1	…	…	第11斜列
第11行	1		11		55		165		330		462		462		330		165		55		11		1	…	第12斜列
										11階楊輝三角

已知(

1

4

+2x)n的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，求展式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)．

對(duì)于二項(xiàng)式（1-x）¹⁹⁹⁹，有下列四個(gè)命題：
①展開(kāi)式中T₁₀₀₀=-C₁₉₉₉¹⁰⁰⁰x⁹⁹⁹；  
 ②展開(kāi)式中非常數(shù)項(xiàng)系數(shù)和是1；
③展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第1000項(xiàng)和第1001項(xiàng)；
④當(dāng)x=2000時(shí)，（1-x）¹⁹⁹⁹除以2000的余數(shù)是1．其中正確命題的序號(hào)是______．

(

x

+a)6的展開(kāi)式中x²項(xiàng)的系數(shù)為60，則實(shí)數(shù)a=______．

若（2x+

3

）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+ax⁴，求（a₀+a₂+a₄）²-（a₁+a₃）²的值．

已知(

x

-

1

23 x

)n展開(kāi)式中第4項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則展開(kāi)式的各項(xiàng)的系數(shù)和為_(kāi)_____．

在（1-x）⁵（1+x+x²）⁴的展開(kāi)式中，x⁷的系數(shù)為_(kāi)_____．