如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA在第一象限，且與x軸的正半軸成定角60°，動(dòng)點(diǎn)P在射線OA上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，△POQ的面積為2

3

．
（1）求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）R₁，R₂是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，R₁，R₂到y(tǒng)軸的距離之和為1，設(shè)u為R₁，R₂到x軸的距離之積．問(wèn)：是否存在最大的常數(shù)m，使u≥m恒成立？若存在，求出這個(gè)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+bx+c圖象上的點(diǎn)P（1，f（1））處的切線方程為y=-3x+1，函數(shù)g（x）=f（x）-ax²+3是奇函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)f（x）的極值．

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．定義：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）（也叫f（x）一階導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）為f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀） ）為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”；定義：（2）設(shè)x₀為常數(shù)，若定義在R上的函數(shù)y=f（x）對(duì)于定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)x，都有f（x₀+x）+f（x₀-x）=2f（x₀）恒成立，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（x₀，f（x₀））對(duì)稱．
（1）己知f（x）=x³-3x²+2x+2，求函數(shù)f（x）的“拐點(diǎn)”A的坐標(biāo)；
（2）檢驗(yàn)（1）中的函數(shù)f（x）的圖象是否關(guān)于“拐點(diǎn)”A對(duì)稱；
（3）對(duì)于任意的三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）寫(xiě)出一個(gè)有關(guān)“拐點(diǎn)”的結(jié)論（不必證明）．

已知函數(shù)f（x）=2

x

-lnx-2．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若不等式

x-m

lnx

＞

x

恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值組成的集合．

已知函數(shù)f（x）=xln（1+x）-a（x+1），其中a為實(shí)常數(shù)．
（1）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，求a的取值范圍；
（2）求函數(shù)g(x)=f′(x)-

ax

1+x

的單調(diào)區(qū)間．

已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-

kx

x+1

（k為常數(shù)）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證不等式

x

ln(x+1)

-1＜

x

2

在x∈（0，1）時(shí)恒成立．

已知函數(shù)f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx-1．
（1）若函數(shù)h（x）=g（x）+1-

x

2

f（x）-2x存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，試討論這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

已知過(guò)原點(diǎn)O作函數(shù)f（x）=e^x（x²-x+a）的切線恰好有三條，切點(diǎn)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）求證：x₁＜-3．