已知函數(shù)f（x）=log₃（ax+b）圖象過(guò)點(diǎn)A（2，1）和B（5，2），設(shè)a_n=3^f（n），n∈N^*．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使不等式(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥a

2n+1

對(duì)一切n∈N*均成立的最大實(shí)數(shù)a；
（Ⅲ）對(duì)每一個(gè)k∈N^*，在a_k與a_k+1之間插入2^k-1個(gè)2，得到新數(shù)列：a₁，2，a₂，2，2，a₃，2，2，2，2，a₄，…，記為{b_n}，設(shè)T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，試問(wèn)是否存在正整數(shù)m，使T_m=2008？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)(

p

2

，0)，且與直線x=-

p

2

相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A、B是軌跡C上異于原點(diǎn)O的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當(dāng)α、β變化且α+β=

π

4

時(shí)，證明直線AB恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[

1

e

-1，e-1]時(shí)，求f（x）的最大值．

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，AA₁=5，
E、F分別為D₁D、B₁B上的點(diǎn)，且DE=B₁F=1．
（Ⅰ）求證：BE⊥平面ACF；
（Ⅱ）求點(diǎn)E到平面ACF的距離．

從4名男生和2名女生中任選3人值日，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)．
（Ⅰ）求ξ的分布列、數(shù)學(xué)期望Eξ；
（Ⅱ）求事件“所選3人中女生至少有1人”的概率．

在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且cos2C+2cos(A+B)+

3

2

=0．
（Ⅰ）求角C的大�。�
（Ⅱ）若c=

7

，a=2，求b的值．

△ABC中，AD是角平分線，AB=5，AC=4，BC=7，則BD=．

（選做題）已知x+2y=1，則x²+y²的最小值是．