（2013•順義區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=2ae^x+1，g（x）=lnx-lna+1-ln2，其中a為常數(shù)，e=2.718…，函數(shù)y=f（x）的圖象與坐標軸交點處的切線為l₁，函數(shù)y=g（x）的圖象與直線y=1交點處的切線為l₂，且l₁∥l₂．
（Ⅰ）若對任意的x∈[1，5]，不等式x-m＞

x

f(x)-

x

成立，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅱ）對于函數(shù)y=f（x）和y=g（x）公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)x．我們把|f（x₀）-g（x₀）|的值稱為兩函數(shù)在x₀處的偏差．求證：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在其公共定義域的所有偏差都大于2．

（2013•順義區(qū)二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2，點P在橢圓上，且△PF₁F₂的周長為6．
（I）求橢圓C的方程；
（II）若點P的坐標為（2，1），不過原點O的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點為M，點P到直線l的距離為d，且M，O，P三點共線．求

12

13

|AB|2+

13

16

d2的最大值．

（2013•順義區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

ex

1+ax2

，其中a為正實數(shù)，e=2.718…．
（I）若x=

1

2

是y=f（x）的一個極值點，求a的值；
（II）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

（2013•順義區(qū)二模）為增強市民的節(jié)能環(huán)保意識，某市面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．從符合條件的500名志愿者中隨機抽取100名志愿者，其年齡頻率分布直方圖如圖所示，其中年齡分組區(qū)間是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．
（I）求圖中x的值并根據(jù)頻率分布直方圖估計這500名志愿者中年齡在[35，40）歲的人數(shù)；
（II）在抽出的100名志愿者中按年齡采用分層抽樣的方法抽取20名參加中心廣場的宣傳活動，再從這20名中采用簡單隨機抽樣方法選取3名志愿者擔任主要負責(zé)人．記這3名志愿者中“年齡低于35歲”的人數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

（2013•順義區(qū)二模）如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E為CD的中點，F(xiàn)為AA₁的中點．
（I）求證：AD₁⊥平面A₁B₁E；
（II）求證：DF∥平面AB₁E；
（III）若二面角A-B₁E-A₁的大小為45°，求AB的長．

（2013•順義區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

( 3 cosx-sinx)sin2x

2cosx

+

1

2

．
（Ⅰ）求f(

π

3

)的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間．

（2013•順義區(qū)二模）設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．當x∈[0，π]時，0＜f（x）＜1；當x∈（0，π）且x≠

π

2

時，(x-

π

2

)f′(x)＜0．則函數(shù)y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零點個數(shù)為．