（理科） 已知數(shù)列{a_n}滿足an+1=|an-1|(n∈N+)．
（1）若a1=

5

4

，計算a₂，a₃，a₄的值，并寫出數(shù)列{a_n}（n∈N⁺，n≥2）的通項公式；
（2）是否存在a1，n0(a1∈R，n0∈N+)，使得當n≥n0(n∈N+)時，a_n恒為常數(shù)，若存在，求出a₁，n₀，否則說明理由；
（3）若a₁=a∈（k，k+1），（k∈N⁺），求{a_n}的前3k項的和S_3k（用k，a表示）．

（2012•閘北區(qū)二模）如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲線C：y2=

1

2

x(y≥0)上的點，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x軸正半軸上的點，且△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形（A₀為坐標原點）．
（1）寫出a_n-1、a_n和x_n之間的等量關系，以及a_n-1、a_n和y_n之間的等量關系；
（2）猜測并證明數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}，A={x|x²-2ax+a²-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求實常數(shù)a的取值范圍．

（2012•浦東新區(qū)三模）已知集合A={a₁，a₂…a_n}（0≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n∈N^*，n≥3）具有性質P：對任意i，j（1≤i≤j≤n），a_i+a_j與a_j-a_i至少一個屬于A．
（1）分別判斷集合M={0，2，4}與N=（1，2，3）是否具有性質P，并說明理由；
（2）①求證：0∈A；②求證：a₁+a₂+a3+…+a_n=

n

2

an；
（3）研究當n=3，4和5時，集合A中的數(shù)列{a_n}是否一定成等差數(shù)列．

設數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，m，n，p，q是互不相等的正整數(shù)，若m+n=p+q，則a_m+a_n=a_p+a_q．請你用類比的思想，對等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，寫出類似的結論若則．

在數(shù)列{a_n}中，如果存在非零常數(shù)T，使得a_m+T=a_m對于任意的非零自然數(shù)m均成立，那么就稱數(shù)列{a_n}的周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{a_n}的周期．已知周期數(shù)列{x_n}滿足xn+1=|xn-xn-1|(n≥2，n∈N*)，且x₁=1，x₂=a（a∈R，a≠0），當數(shù)列{x_n}的周期最小時，該數(shù)列前2012項和是．

等差數(shù)列{a_n}中，a₁+a₄+a₈+a₁₂+a₁₅=20，則S₁₅=．

若A=

1 3 2 4

，B=

-1 2 3 -3

，則3A-B=．

（2013•資陽二模）已知函數(shù)f₁（x）=

1

2

x²，f₂（x）=alnx（其中a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）=f₁（x）•f₂（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f₁（x）-f₂（x）+（a-1）x在區(qū)間（

1

e

，e）內有兩個零點，求正實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：當x＞0時，1nx+

3

4x2

-

1

ex

＞0．（說明：e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

（2013•資陽二模）若拋物線C的頂點在坐標原點O，其圖象關于x軸對稱，且經(jīng)過點M（1，2）．
（Ⅰ）若一個等邊三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在該拋物線上，求該等邊三角形的邊長；
（Ⅱ）過點M作拋物線C的兩條弦MA，MB，設MA，MB所在直線的斜率分別為K₁K₂，當K₁K₂變化且滿足K₁+K₂=-1時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點坐標．

（2013•資陽二模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=t（t≠1），2a_n+1+3S_n=3n+4（其中n∈N^*）．
（Ⅰ）當t為何值時，數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，設b_n=λa_n-λ-n²，若在數(shù)列{b_n}中，有b₁＞b₂，b₃＞b₄，…，b_2n-1＞b_2n，…成立，求實數(shù)λ的取值范圍．