（2012•遼寧）如圖，已知橢圓C₀：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0，a，b為常數(shù))，動圓C₁：x2+y2=

t

2 1

，b＜t1＜a．點(diǎn)A₁，A₂分別為C₀的左右頂點(diǎn)，C₁與C₀相交于A，B，C，D四點(diǎn)．
（I）求直線AA₁與直線A₂B交點(diǎn)M的軌跡方程；
（II）設(shè)動圓C₂：x2+y2=

t

2 2

與C0相交于A'，B'，C'，D'四點(diǎn)，其中b＜t₂＜a，t₁≠t₂．若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等，證明：

t

2 1

+

t

2 2

為定值．

（2012•遼寧）電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查，下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖：
將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”．
（I）根據(jù)已知條件完成下面2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)？

	非體育迷	體育迷	合計(jì)
男
女		10	55
合計(jì)

（II）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）

P（ K2≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635

．

（2012•遼寧）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的S值是（　�。�

（2012•遼寧）設(shè)變量x，y滿足

x-y≤10 0≤x+y≤20 0≤y≤15

，則2x+3y的最大值為（　　）

我們知道，對一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同可以構(gòu)造等式，這是一種非常有用的思想方法--“算兩次”（G．Fubini原理），如小學(xué)有列方程解應(yīng)用題，中學(xué)有等積法求高…
請結(jié)合二項(xiàng)式定理，利用等式（1+x）ⁿ•（1+x）ⁿ=（1+x）²ⁿ（n∈N^*）
證明：
（1）

n

r=0

(

C

r n

)2=

C

n 2n

；  
（2）

m

r=0

(

C

r n

C

m-r n

)=

C

m 2n

．

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，|

AB

|=1，

A1P

=λ

A1C

(0＜λ＜1)．
（1）若λ=

1

2

，求直線PB與PD所成角的正弦值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得直線A₁C⊥平面PBD？并說明理由．

（不等式選講）設(shè)a，b為互不相等的正實(shí)數(shù)，求證：4（a³+b³）＞（a+b）³．

（矩陣與變換）若直線y=kx在矩陣

0 1 1 0

對應(yīng)的變換作用下得到的直線過點(diǎn)P（4，1），求實(shí)數(shù)k的值．

（幾何證明選講）如圖，以正方形ABCD的頂點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓交BC的延長線于點(diǎn)E、F，且點(diǎn)B為線段CG的中點(diǎn)．求證：GE•GF=2BE•BF．