（2007•楊浦區(qū)二模）（文）設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0且m≠n）的兩個焦點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到兩個焦點(diǎn)的距離之和等于4，求橢圓C的方程．
（2）如果點(diǎn)P是（1）中所得橢圓上的任意一點(diǎn)，且

PF1

•

PF2

=0，求△PF₁F₂的面積．
（3）若橢圓C具有如下性質(zhì)：設(shè)M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線QM與直線QN的斜率都存在，分別記為K_QM、K_QN，那么K_QM和K_QN之積是與點(diǎn)Q位置無關(guān)的定值．試問：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）是否具有類似的性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．通過對上面問題進(jìn)一步研究，請你概括具有上述性質(zhì)的二次曲線更為一般的結(jié)論，并說明理由．

（2007•楊浦區(qū)二模）（理）設(shè)斜率為k₁的直線L交橢圓C：

x2

2

+y2=1于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為弦AB的中點(diǎn)，直線OM的斜率為k₂（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，假設(shè)k₁、k₂都存在）．
（1）求k₁?k₂的值．
（2）把上述橢圓C一般化為

x2

a2

+

y2

b2

=1
（a＞b＞0），其它條件不變，試猜想k₁與k₂關(guān)系（不需要證明）．請你給出在雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）中相類似的結(jié)論，并證明你的結(jié)論．
（3）分析（2）中的探究結(jié)果，并作出進(jìn)一步概括，使上述結(jié)果都是你所概括命題的特例．
如果概括后的命題中的直線L過原點(diǎn)，P為概括后命題中曲線上一動點(diǎn)，借助直線L及動點(diǎn)P，請你提出一個有意義的數(shù)學(xué)問題，并予以解決．

（2007•楊浦區(qū)二模）如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備綠化一塊直徑為BC的半圓形空地，△ABC外的地方種草，△ABC的內(nèi)接正方形PQRS為一水池，其余地方種花．若BC=a，∠ABC=θ，設(shè)△ABC的面積為S₁，正方形PQRS的面積為S₂，將比值

S1

S2

稱為“規(guī)劃合理度”．
（1）試用a，θ表示S₁和S₂．
（2）（理）當(dāng)a為定值，θ變化時，求“規(guī)劃合理度”取得最小值時的角θ的大�。�
（3）（文）當(dāng)a為定值，θ=15⁰時，求“規(guī)劃合理度”的值．

（2007•楊浦區(qū)二模）（理）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖），AD=AA₁=1，AB=2，點(diǎn)E是棱AB上的動點(diǎn)．
（1）當(dāng)異面直線AD₁與EC所成角為60°時，請你確    定動點(diǎn)E的位置．
（2）求三棱錐C-DED₁的體積．

（2007•楊浦區(qū)二模）（理）設(shè)虛數(shù)z滿足z+

4

z

=a（其中a為實數(shù)）．
（1）求|z|；
（2）若|z-2|=2，求a的值．

（2007•楊浦區(qū)二模）設(shè)奇函數(shù)f（x）的定義域為實數(shù)集R，且滿足f（x+1）=f（x-1），當(dāng)x∈[0，1）時，f（x）=2^x-1．則f(0)+f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

)+f(2)+f(

5

2

)的值為（　　）

（2007•楊浦區(qū)二模）設(shè)圓的方程是（x-a）²+（y+b）²=a²+b²（其中a＞0且b＞0），給出下列三種說法：（1）該圓的圓心坐標(biāo)為（a，b）．（2）該圓過原點(diǎn)．（3）該圓與x軸相交于兩個不同點(diǎn)．其中（　�。�

（2007•楊浦區(qū)二模）設(shè)甲是乙的充分非必要條件，乙是丙的充要條件，那么丙是甲的（　�。�

（2007•楊浦區(qū)二模）已知集合A={0，3，6，9}，從中任取兩個元素分別作為點(diǎn)P（x，y）的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，則點(diǎn)P恰好落入圓x²+y²=100內(nèi)的概率是．