過(guò)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交橢圓于點(diǎn)(-1，

2

2

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的左、右頂點(diǎn)A、B，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，P為以F₁F₂為直徑的圓上異于F₁，F(xiàn)₂的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)

AP

•

BP

是否為定值，若是求出定值，不是說(shuō)明理由？
（3）是否存在過(guò)點(diǎn)Q（-2，0）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)M、N，使得|FD|=

1

2

|MN|（其中D為弦MN的中點(diǎn)）？若存在，求出直線l的方程：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)，過(guò)F₁的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長(zhǎng)為8，C上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為1，
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P是橢圓C上不與橢圓頂點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C上不與橢圓頂點(diǎn)重合且異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)N，直線MP，NP分別交x軸于點(diǎn)E（x₁，0），點(diǎn)F（x₂，0），探究x₁•x₂是否為定值，若為定值，求出該定值，若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．

如圖，點(diǎn)F是橢圓W：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)，A、B分別是橢圓的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)，橢圓的離心率為

1

2

，三角形ABF的面積為

3 3

2

，
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）對(duì)于x軸上的點(diǎn)P（t，0），橢圓W上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥AQ，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓W交于不同的兩點(diǎn)M、N （M、N異于橢圓的左右頂點(diǎn)），若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓W的右頂點(diǎn)A，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

設(shè)雙曲線C：

x2

2

-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線a與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)S、T．
（1）求直線A₁S與直線A₂T的交點(diǎn)H的軌跡E的方程；
（2）設(shè)A，B是曲線E上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中垂線與曲線E交于P，Q兩點(diǎn)，直線l：x=

1

2

，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上，若F（1，0），求

FP

•

FQ

的取值范圍．

求雙曲線25y²-16x²=400焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程．

設(shè)橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）以F₁、F₂為左、右焦點(diǎn)，離心率e=

1

2

，一個(gè)短軸的端點(diǎn)（0，

3

）；拋物線C₂：y²=4mx（m＞0），焦點(diǎn)為F₂，橢圓C₁與拋物線C₂的一個(gè)交點(diǎn)為P．
（1）求橢圓C₁與拋物線C₂的方程；
（2）直線l經(jīng)過(guò)橢圓C₁的右焦點(diǎn)F₂與拋物線C₂交于A₁，A₂兩點(diǎn)，如果弦長(zhǎng)|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周長(zhǎng)，求直線l的斜率．

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

3

，半焦距為c（c＞0），且a-c=1，經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)F₁斜率為k₁（k₁≠0）的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)R（1，0），延長(zhǎng)AR，BR分別與橢圓交于C、D兩點(diǎn)，直線CD的斜率為k₂，求

k1

k2

的值及直線CD所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)．

拋物線y²=4x上一定點(diǎn)P（x₀，2），直線l的一個(gè)方向向量

d

=(1，-1)
（1）若直線l過(guò)P，求直線l的方程；
（2）若直線l不過(guò)P，且直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率為k_PA，k_PB，求k_PA+k_PB的值．

已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F₁（-1，0）、F₂（1，0），P為橢圓上一點(diǎn)，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△PF₁F₂的面積．