Question

20．如圖所示，一輕質(zhì)彈簧左端固定在足夠長的水平軌道左側，水平軌道的PQ段粗糙，調(diào)節(jié)其初始長度為l=1.5m，水平軌道右側連接半徑為R=0.4m的豎直圓形光滑軌道，可視為質(zhì)點的滑塊將彈簧壓縮至A點后由靜止釋放，經(jīng)過水平軌道PQ后，恰好能通過圓形軌道的最高點B．已知滑塊質(zhì)量m=1kg，與PQ段間的動摩擦因數(shù)μ=0.4，軌道其它部分摩擦不計，g取10m/s²，求：
（1）彈簧壓縮至A點時彈簧的彈性勢能E_p；
（2）若每次均從A點由靜止釋放滑塊，同時調(diào)節(jié)PQ段的長度，為使滑塊在進入圓形軌道后能夠不脫離軌道而運動，PQ段的長度l應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）滑塊恰好能通過圓形軌道的最高點B時，由重力提供向心力，由向心力公式求出B點的速度．滑塊由A點到彈簧壓縮到最短的過程中，由功能關系求解彈簧獲得的最大彈性勢能；
（2）若要使物塊不脫離軌道，分兩種情況討論：（i）滑塊能夠通過B點而不脫離軌道．（ii）滑塊能夠到達圓形軌道，若物塊恰好到達B點，根據(jù)功能關系求出PQ段的長度l的范圍．

解答 解：（1）設物塊沖上圓形軌道最高點B時速度為v，由能量守恒定律得：
   E_pm=$\frac{1}{2}$mv²+2mgR+μmgl                            ①
物塊在B點時，重力提供向心力，由牛頓第二定律得：$mg=m\frac{v^2}{R}$ ②
聯(lián)立①②式并代入數(shù)據(jù)解得  E_pm=16 J                                  
（2）若要使物塊不脫離軌道，分兩種情況討論：
（i）滑塊能夠通過B點而不脫離軌道，則應滿足：l≤1.5m            ③
（ii）滑塊能夠到達圓形軌道，則應滿足：E_pm＞μmgl，解得l＜4m     ④
滑塊到達圓形軌道而又不超過與圓心等高的點C時，如圖所示，臨界條件取到達C點時速度恰好為零，則有
  E_pm≤mgR+μmgl，解得  l≥3m                              ⑤
綜合③④⑤式可得PQ段長度l應滿足的條件是：
l≤1.5m或3m≤l＜4m                                                

答：
（1）彈簧壓縮至A點時彈簧的彈性勢能E_p是16J．
（2）PQ段長度l應滿足的條件是：l≤1.5m或3m≤l＜4m．

點評 解決本題的關鍵要明確最高點的臨界條件：重力充當向心力．要知道滑塊不脫離軌道有兩種可能的情況，不能漏解．