Question

15．設(shè)地球的半徑為R，繞地球運行的衛(wèi)星的最小公轉(zhuǎn)周期為T，地球的一顆同步衛(wèi)星的線速度大小為v，不考慮其他天體的影響，僅根據(jù)以上物理量．求：
（1）地球表面的重力加速度；
（2）同步衛(wèi)星的軌道半徑；
（3）地球的自轉(zhuǎn)周期．

Answer 1

分析 （1）地球表面重力等于萬有引力，結(jié)合引力提供向心力，即可求解地球表面的重力加速度；
（2）根據(jù)同步衛(wèi)星圓周運動的向心力由萬有引力提供，即可求解同步衛(wèi)星的軌道半徑；
（3）同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，依據(jù)圓周運動線速度公式，從而求解地球的自轉(zhuǎn)周期．

解答 解：（1）地球表面重力與萬有引力相等，即：mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
可得：GM=gR²
繞地球運行的衛(wèi)星的最小公轉(zhuǎn)周期為T，即有運行軌道半徑最小，依據(jù)引力提供向心力，則有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
解得：g=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
（2）同步衛(wèi)星圓周運動的向心力由萬有引力提供，有：
G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{2}}$
（3）根據(jù)勻速圓周運動的線速度公式，即T′=$\frac{2πr}{v}$
解得：T′=$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$
答：（1）地球表面的重力加速度$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$；
（2）同步衛(wèi)星的軌道半徑$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{2}}$；
（3）地球的自轉(zhuǎn)周期$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{T}^{2}{v}^{3}}$．

點評 萬有引力應(yīng)用主要著手點一是萬有引力等于星球表面的重力，二是萬有引力提供圓周運動向心力．關(guān)鍵要掌握向心力的不同表達(dá)式．