Question

如圖，ABD為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中AB段是水平的，BD段是半徑為R的半圓，兩段軌道相切于B點(diǎn)．小球甲以速度υ₀沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在B點(diǎn)的小球乙發(fā)生彈性碰撞．已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m．（水平軌道足夠長，甲、乙兩球可視為質(zhì)點(diǎn)）
（1）甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點(diǎn)D，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離；
（2）在滿足（1）的條件下．求甲的速度υ₀；
（3）若甲仍以速度υ₀向右運(yùn)動(dòng)，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍．

Answer 1

分析：（1）乙球恰能通過最高點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律求出到達(dá)D點(diǎn)的速度，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離．
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出乙球在B點(diǎn)碰撞后的速度，結(jié)合動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出甲與乙碰撞前的速度．
（3）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律求出碰后乙的速度，從而根據(jù)質(zhì)量關(guān)系求出乙的速度范圍，根據(jù)動(dòng)能定理求出D點(diǎn)的速度，從而得出水平距離，結(jié)合B點(diǎn)乙球的速度范圍求出落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍．

解答：解：（1）設(shè)乙恰能通過軌道的最高點(diǎn)的速度為v_D，乙離開D點(diǎn)到達(dá)水平軌道的時(shí)間為t，乙的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為x，
則m

vD2

R

=mg①
2R=

1

2

gt2②
x=v_Dt③
聯(lián)立①②③得：x=2R   ④
（2）設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲、v_乙，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律有：
mv₀=mv_甲+mv_乙⑤

1

2

mv02=

1

2

mv甲2+

1

2

mv乙2   ⑥
聯(lián)立⑤⑥解得：v_乙=v₀ ⑦
乙從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程由動(dòng)能定理得：
-mg×2R=

1

2

mvD2-

1

2

mv乙2       ⑧
聯(lián)立①⑦⑧解得：v0=

5gR

⑨
（3）設(shè)甲的質(zhì)量為m_甲，碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲、v_乙，根據(jù)動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒定律有：
m_甲v₀=m_甲v_甲+mv_乙．⑩

1

2

m甲v02=

1

2

m甲v甲2+

1

2

mv乙2  （11）
聯(lián)立⑩（11）得，v乙=

2m甲v0

m甲+m乙

   （12）
由（12）和m_甲、m_乙，可得v₀≤v_乙≤2v₀  （13）
設(shè)乙球過D點(diǎn)的速度為v_D′，由動(dòng)能定理得，
-mg×2R=

1

2

mvD′2-

1

2

mv乙2  （14）
聯(lián)立⑨（13）（14）得，

5gR

≤vD′≤2

5gR

． （15）
設(shè)乙在水平軌道上的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為x′，則有：
x′=v_D′t  （16）
聯(lián)立②（15）（16）得，2R≤x′＜8R．
答：（1）乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為2R．（2）甲的速度v0=

5gR

．（3）乙在軌道上的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍為2R≤x′＜8R．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道彈性碰撞中動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，理清運(yùn)動(dòng)過程，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，結(jié)合動(dòng)能定理和牛頓第二定律進(jìn)行求解．