Question

12．如圖所示，在距水平地面高為0.4m的地方（P點(diǎn)）固定一定滑輪，滑輪可繞水平軸無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)．在P點(diǎn)的右邊，水平桌面上放有一質(zhì)量m₁=4kg，電荷量q=+2.55×10^-2C的滑塊A．處在場(chǎng)強(qiáng)E=1.0×10³V/m的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，半徑R=0.3m的光滑$\frac{1}{4}$圓弧豎直軌道固定在地面上，其圓心O₁在P點(diǎn)的正下方，在軌道上套有一質(zhì)量m₂=1kg的絕緣小球B．A、B用一條不可伸長(zhǎng)的柔軟細(xì)繩通過(guò)定滑輪連接起來(lái)．水平桌面和滑塊間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.15，滑塊不會(huì)離開水平桌面．滑塊半圓形軌道在同一豎直面內(nèi)，滑塊和小球均可看作質(zhì)點(diǎn)，且不計(jì)滑輪大小的影響（g=10m/s²）．求：
（1）當(dāng)小球B到達(dá)$\frac{1}{4}$圓弧軌道的最高點(diǎn)C時(shí)，A滑塊的電勢(shì)能變化了多少；
（2）小球B被拉到離地多高時(shí)滑塊A與小球B的速度大小相等；
（3）當(dāng)小球B剛到達(dá)$\frac{1}{4}$圓弧軌道的最高點(diǎn)C時(shí)剪斷細(xì)繩，小球剛好可以通過(guò)D點(diǎn)并沿切線方向無(wú)碰撞地進(jìn)入另一個(gè)與$\frac{1}{4}$圓弧軌道固定在同一豎直面上的光滑圓軌道O₂，O₂D與豎直方向的夾角為37°，當(dāng)小球B運(yùn)動(dòng)到光滑圓軌道O₂的最低點(diǎn)F時(shí)對(duì)軌道的壓力有多大？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何知識(shí)求出滑塊移動(dòng)的位移大小，再求解電場(chǎng)力做的功和電勢(shì)能的改變．
（2）由當(dāng)繩與軌道相切時(shí)兩球速度相等，小滑塊A與小球B的速度大小相等，由幾何知識(shí)求出小球B上升的高度．
（3）當(dāng)B球到達(dá)C處時(shí)，滑塊的速度為零，電場(chǎng)力和摩擦力做的功等于AB組成的系統(tǒng)機(jī)械能的增加，根據(jù)功能關(guān)系列方程求解小球B運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)的速度大小v．
小球離開C后做平拋運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)分解，即可求出圓軌道的半徑；由機(jī)械能守恒求出小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度，然后由重力的支持力提供向心力，結(jié)合向心力公式$F=m\frac{{v}^{2}}{R}$和牛頓第三定律求出壓力．

解答 解：（1）對(duì)于電場(chǎng)力的做功過(guò)程，由幾何知識(shí)有：
  $\overline{PB}=\sqrt{{h}^{2}+{R}^{2}}=\sqrt{0．{4}^{2}+0．{3}^{2}}=0.5$m
  $\overline{PC}=h-R=0.4-0.3=0.1m$
則力F做的功為：$W=F•（\overline{PB}-\overline{PC}）$
電場(chǎng)力：F=qE=2.55×10^-2×10³=25.5N
所以有：W=FS=25.5×（0.5-0.1）=10.2J．
所以電勢(shì)能減小10.2J
（2）當(dāng)繩與軌道相切（M點(diǎn)）時(shí)兩球速度相等，由相似三角形知識(shí)，得：

$\frac{\overline{P{O}_{1}}}{R}=\frac{R}{\overline{N{O}_{1}}}$
得：$\overline{N{O}_{1}}=0.225$m
由動(dòng)能定理得：
（F-f）•（$\overline{PB-}\sqrt{{h}^{2}-{R}^{2}}$）-m₂g$\overline{N{O}_{1}}$=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{2}{v}^{2}$
其中：f=μm₂g=0.15×4×10=6N
代入解得：v=0.94m/s  
（3）由于B球到達(dá)C處時(shí)，已無(wú)沿繩的分速度，所以此時(shí)滑塊A的速度為零，考察兩球及繩子組成的系統(tǒng)的能量變化過(guò)程，由功能關(guān)系，得：
$（F-f）•（\overline{PB}-\overline{PC}）=\frac{1}{2}{m}_{2}v{′}^{2}+{m}_{2}gR$
代入數(shù)據(jù)解得：$v′=\sqrt{9.2}m/s≈3.03$m/s
小球離開C后做平拋運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)竭_(dá)D點(diǎn)時(shí)沿圓的切線進(jìn)入圓軌道時(shí)，將速度分解如圖，則：

v_y=v′•tan37°=3.03×0.75=2.27m/s
所以D點(diǎn)的高度：${h}_{D}=R-\frac{{v}_{D}^{2}}{2g}=0.3-\frac{2.2{7}^{2}}{20}=0.042$m
設(shè)圓軌道的半徑是R′，則：h_D=R′-R′•cos37°=0.2R′
所以：R′=5h_D=0.21m
小球離開C后做平拋運(yùn)動(dòng)，由機(jī)械能守恒得小球到達(dá)最低點(diǎn)的速度v_m：
$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{m}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{2}{v′}^{2}+{m}_{2}gR$
代入數(shù)據(jù)得：${v}_{m}=\sqrt{15.2}m/s$
軌道對(duì)小球的支持力和重力提供向心力，得：${F}_{N}-{m}_{2}g=\frac{{m}_{2}{v}_{m}^{2}}{R′}$
所以，代入已知量，得：F_N=82.4N
根據(jù)牛頓第三定律可知，小球?qū)�軌道的壓力�?2.4N
答：（1）當(dāng)小球B到達(dá)$\frac{1}{4}$圓弧軌道的最高點(diǎn)C時(shí)，A滑塊的電勢(shì)能變化了10.2J；
（2）小球B被拉到離地0.225m高時(shí)滑塊A與小球B的速度大小相等；
（3）當(dāng)小球B剛到達(dá)$\frac{1}{4}$圓弧軌道的最高點(diǎn)C時(shí)剪斷細(xì)繩，小球剛好可以通過(guò)D點(diǎn)并沿切線方向無(wú)碰撞地進(jìn)入另一個(gè)與$\frac{1}{4}$圓弧軌道固定在同一豎直面上的光滑圓軌道O₂，O₂D與豎直方向的夾角為37°，當(dāng)小球B運(yùn)動(dòng)到光滑圓軌道O₂的最低點(diǎn)F時(shí)對(duì)軌道的壓力是82.4N．

點(diǎn)評(píng) 本題連接體問(wèn)題，從功能關(guān)系研究物體的速度與高度，關(guān)鍵分析兩物體之間的關(guān)系和運(yùn)用幾何知識(shí)研究物體的位移．