Question

18．如圖所示，在y軸右側(cè)平面內(nèi)存在垂直xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T．坐標(biāo)原點(diǎn)O有一放射源，可以連續(xù)不斷地向y軸右側(cè)面內(nèi)沿各個(gè)方向放射出比荷$\frac{q}{m}$=4×10⁶C/kg的正離子，這些正離子的速率分別在0到2×10⁶m/s的范圍內(nèi)，不計(jì)離子的重力及它們之間的相互作用．
（1）求離子打到y(tǒng)軸上的范圍
（2）若在某時(shí)刻沿+x方向放射出各種速率的離子，求經(jīng)過(guò)t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s時(shí)這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程．
（3）若從某時(shí)刻開(kāi)始向y軸右側(cè)各個(gè)方向放射出各種速率的離子，求經(jīng)過(guò)t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s時(shí)已進(jìn)入磁場(chǎng)的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑公式求出離子的最大半徑，從而確定離子打到y(tǒng)軸上的范圍．
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期與速度無(wú)關(guān)，根據(jù)周期公式求出離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期，求出經(jīng)過(guò)t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s時(shí)離子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角，通過(guò)數(shù)學(xué)極坐標(biāo)的方法得出這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程．
（3）作出經(jīng)過(guò)$t=\frac{5π}{3}×{10^{-7}}s$時(shí)已進(jìn)入磁場(chǎng)的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域，通過(guò)幾何關(guān)系求出已進(jìn)入磁場(chǎng)的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積．

解答 解：（1）由 $Bqv=m\frac{v_m^2}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得R=1m                            
離子打到y(tǒng)軸上的范圍為0-2m                     
（2）離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為 $T=\frac{2πm}{qB}=π×{10^{-6}}s$
設(shè)這些離子經(jīng)過(guò)$t=\frac{5π}{3}×{10^{-7}}s$時(shí)，其軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為θ，
則$θ=\frac{t}{T}•2π=\frac{π}{3}$

令t時(shí)刻離子所在位置坐標(biāo)為（x，y），則
x=rsinθ；y=r（1-cosθ）  
$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（0≤x≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（3）從某時(shí)刻開(kāi)始向y軸右側(cè)各個(gè)方向放射各種速率的離子，求經(jīng)過(guò)$t=\frac{5π}{3}×{10^{-7}}s$t=時(shí)已進(jìn)入磁場(chǎng)的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域如圖陰影部分所示，其面積為$S=\frac{5}{12}π{R^2}+\frac{1}{6}π{R^2}-\frac{1}{2}R×\frac{{\sqrt{3}}}{2}R=（\frac{7}{12}π-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）m=1.4m$²
答：（1）離子打到y(tǒng)軸上的范圍為0-2m；
（2）這些離子所在位置構(gòu)成的曲線方程為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（0≤x≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（3）經(jīng)過(guò)t=$\frac{5π}{3}$×10^-7s時(shí)已進(jìn)入磁場(chǎng)的離子可能出現(xiàn)的區(qū)域面積為1.4m²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決物理問(wèn)題的能力，采用參數(shù)方程的方法求解軌跡方程，根據(jù)幾何知識(shí)確定出離子可能出現(xiàn)的區(qū)域，難度較大．