Question

19．小芳同學(xué)在學(xué)習(xí)了單擺之后，她設(shè)想了一個(gè)問題：如果讓擺球帶上電荷在磁場(chǎng)中擺動(dòng)，（如圖1所示），情況會(huì)怎樣？與重力場(chǎng)中的單擺，（如圖2所示）相比，運(yùn)動(dòng)情況還相同嗎？還是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)嗎？于是她試著對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了一系列的比較和探究．

如圖1所示，把單擺放置在一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B．已知單擺擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺球的質(zhì)量為m，帶電量為+q，擺球在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)，擺角為θ（θ＜5°），細(xì)線始終處于拉直狀態(tài)，當(dāng)?shù)刂亓�加速度為g，不計(jì)空氣阻力的影響．
（1）求擺球擺到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小v．該速度與重力場(chǎng)中擺球擺到最低點(diǎn)的速度大小相等嗎？
（2）求擺動(dòng)過(guò)程中細(xì)線拉力的最大值T．該拉力與重力場(chǎng)中細(xì)線拉力的最大值相等嗎？
（3）小芳進(jìn)一步對(duì)該運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了多角度的分析后，推斷該運(yùn)動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)你運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)論證小芳的推斷是否正確．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律可以列式求解最低點(diǎn)的速度；
（2）由向心力公式列式即可求得拉力大小，則可明確與只在重力場(chǎng)中時(shí)拉力的不同；
（3）根據(jù)回復(fù)力的定義，利用數(shù)學(xué)規(guī)律可明確小球受力特點(diǎn)；明確是否做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．

解答 解：（1）小球擺至最低點(diǎn)的過(guò)程中機(jī)械能仍然守恒；則有：
mgL（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²；
解得：v=$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$；
可知，該速度與只受重力時(shí)擺球擺到最低點(diǎn)處的速度大小相等；
（2）小球向左運(yùn)動(dòng)擺至最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力最大；在最低點(diǎn)受力情況如下圖所示；
根據(jù)牛頓第二定律可得：
T-qvB-mg=m$\frac{{v}^{2}}{L}$；
可得：
T=3mg-2mgcosθ+qB$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$
故該拉力與重力場(chǎng)中細(xì)線的拉力的最大值不相等；
（3）選擇圖中所示偏角為α角的位置進(jìn)行分析，小球受到重力、洛侖茲力及拉力的作用；使擺球沿圓弧振動(dòng)的回復(fù)力仍然由重力沿圓弧切線方向上的分力F=mgsinα提供；
取水平向右的方向?yàn)檎�方向，在偏角很小時(shí)，擺球?qū)τ谄胶馕恢玫奈灰苮的大小，與α角所對(duì)的弧長(zhǎng)、弦長(zhǎng)都近似相等，因而sinα=$\frac{x}{L}$，所以擺球的回復(fù)力F=-$\frac{mg}{L}x$，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F與位移x的方向相反，由于m、g、L都有確定的數(shù)值；可以用一個(gè)常數(shù)k表示，于是上式就可以寫成F=-kx；
可見在偏角很小的情況下，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成正比，方向相反；因此該運(yùn)動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；判斷正確；
答：（1）擺球擺到最低點(diǎn)時(shí)的速度大小v．該速度與重力場(chǎng)中擺球擺到最低點(diǎn)的速度大小相等；
（2）求擺動(dòng)過(guò)程中細(xì)線拉力的最大值T．該拉力與重力場(chǎng)中細(xì)線拉力的最大值不相等；
（3）小芳的判斷是準(zhǔn)確的．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)及機(jī)械能守恒定律，要注意明確洛侖茲力永不做功這一結(jié)論；明確小球在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的能量轉(zhuǎn)化關(guān)系，進(jìn)而明確受力特點(diǎn)．