Question

18．離子推進(jìn)器是太空飛行器常用的動(dòng)力系統(tǒng)，某種推進(jìn)器設(shè)計(jì)的簡化原理如圖1所示，截面半徑為R的圓柱腔分為兩個(gè)工作區(qū)．I為電離區(qū)，將氙氣電離獲得1價(jià)正離子，II為加速區(qū)，長度為L，兩端加有電壓，形成軸向的勻強(qiáng)電場．I區(qū)產(chǎn)生的正離子以接近0的初速度進(jìn)入II區(qū)，被加速后以速度v_M從右側(cè)噴出．
I區(qū)內(nèi)有軸向的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向在圖2中垂直紙面向外．在離軸線$\frac{R}{2}$處的C點(diǎn)持續(xù)射出一定速度范圍的電子．假設(shè)射出的電子僅在垂直于軸線的截面上運(yùn)動(dòng)，截面如圖2所示（從左向右看）．電子的初速度方向與中心O點(diǎn)和C點(diǎn)的連線成α角（0＜α＜90°）．推進(jìn)器工作時(shí)，向I區(qū)注入稀薄的氙氣．電子使氙氣電離的最小速度為v₀，電子在I區(qū)內(nèi)不與器壁相碰且能到達(dá)的區(qū)域越大，電離效果越好．已知離子質(zhì)量為M；電子質(zhì)量為m，電量為e．（電子碰到器壁即被吸收，不考慮電子間的碰撞）．
（1）求Ⅱ區(qū)的加速電壓及離子的加速度大��；
（2）α為90°時(shí)，要取得好的電離效果，求射出的電子速率v的范圍；
（3）要取得好的電離效果，求射出的電子最大速率v_m與α的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）粒子在區(qū)域Ⅱ中運(yùn)動(dòng)的過程中，只受電場力作用，電場力做正功，利用動(dòng)能定理和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可解的加速電壓和離子的加速度大�。�
（2）因電子在I區(qū)內(nèi)不與器壁相碰且能到達(dá)的區(qū)域越大，電離效果越好，所以可知電子應(yīng)為逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，通過幾何關(guān)系分析出離子運(yùn)功的最大軌道半徑，洛倫茲力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律可計(jì)算出離子的最大速度．
（3）畫出軌跡圖，通過幾何關(guān)系解出軌道的最大半徑，再結(jié)合洛倫茲力提供向心力列式，即可得出射出的電子最大速率v_M與α的關(guān)系．

解答 解：（1）由動(dòng)能定理得$\frac{1}{2}$Mv${\;}_{M}^{2}$=eU  
U=$\frac{M{v}_{M}^{2}}{2e}$ 
離子做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系得：${v}_{M}^{2}$=2aL，
得a=$\frac{eE}{M}$=e$\frac{U}{ML}$=$\frac{{v}_{M}^{2}}{2L}$   
（2）設(shè)電子運(yùn)動(dòng)的最大半徑為r，由幾何關(guān)系得：
2r=$\frac{3}{2}$R   
由洛倫茲力提供向心力得：eBv=m$\frac{v2}{r}$ 
所以有v₀≤v＜$\frac{3eBR}{4m}$ 
要使⑦式有解，磁感應(yīng)強(qiáng)度B＞$\frac{4m{v}_{0}}{3eR}$  
（3）如圖所示，OA=R-r，OC=$\frac{R}{2}$，AC=r
根據(jù)幾何關(guān)系得r=$\frac{3R}{4（2-sinα）}$ 
得v_max=$\frac{3eBR}{4m（2-sinα）}$．
答：（1）Ⅱ區(qū)的加速電壓是$\frac{M{v}_{M}^{2}}{2e}$，離子的加速度大小是$\frac{{v}_{M}^{2}}{2L}$；
（2）α為90°時(shí)，要取得好的電離效果，射出的電子速率v的范圍是v₀≤v＜$\frac{3eBR}{4m}$ 且磁感應(yīng)強(qiáng)度B＞$\frac{4m{v}_{0}}{3eR}$；
（3）要取得好的電離效果，求射出的電子最大速率v_m與α的關(guān)系是v_max=$\frac{3eBR}{4m（2-sinα）}$．

點(diǎn)評(píng) 該題的文字?jǐn)⑹鲚^長，要求要快速的從中找出物理信息，創(chuàng)設(shè)物理情境；平時(shí)要注意讀圖能力的培養(yǎng)，以及幾何知識(shí)在物理學(xué)中的應(yīng)用，解答此類問題要有畫草圖的習(xí)慣，以便有助于對(duì)問題的分析和理解；再者就是要熟練的掌握帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期和半徑公式的應(yīng)用．