Question

11．如圖，在坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)有以O(shè)為圓心，半徑分別為R、2R、3R的圓弧ab、cd、ef及兩坐標(biāo)軸圍成的I、II、III三個(gè)區(qū)域，I、II區(qū)域中存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B₀的勻強(qiáng)磁場，其中I區(qū)域的磁場方向垂直坐標(biāo)平面向里、II區(qū)域的磁場方向垂直坐標(biāo)平面向外，一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，以速度v=$\frac{q{B}_{0}R}{m}$從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿+x方向射入磁場，不計(jì)粒子重力．
（1）求粒子與弧ab交點(diǎn)的坐標(biāo)值x₁、y₁；
（2）求粒子在I、II兩區(qū)域中運(yùn)動的總時(shí)間t；
（3）若III區(qū)域中也存在著垂直坐標(biāo)平面的勻強(qiáng)磁場，為使粒子不從弧ef上射出磁場，求該區(qū)域磁場方向機(jī)磁感應(yīng)強(qiáng)度B_x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力得到半徑公式r=$\frac{mv}{qB}$，再與題中已知速度v結(jié)合求出粒子半徑r，根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合即可求出粒子與弧ab交點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)；
（2）畫出粒子運(yùn)動軌跡過程圖，利用所轉(zhuǎn)過的弧長除以速度大小即可求出粒子運(yùn)動時(shí)間；
（3）由于磁場方向不確定，故存在兩種情況，分情況討論，當(dāng)III區(qū)域的磁場方向垂直坐標(biāo)平面向外和垂直坐標(biāo)平面向里兩種情況，找到臨界條件，即軌跡與III區(qū)域的外邊界相切，用洛倫茲力提供向心力與臨界幾何關(guān)系結(jié)合即可求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B_x的取值范圍．

解答 解：（1）粒子在磁場中運(yùn)動時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得：qvB₀=m$\frac{{v}^{2}}{r}$①
根據(jù)已知：v=$\frac{q{B}_{0}R}{m}$ ②
聯(lián)立①②式得：r=R
即粒子運(yùn)動軌跡與弧ab的交點(diǎn)A及a、O組成一正三角形，如圖1所示，

故A點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為：
x₁=Rcos30°
y₁=Rsin30°
解得：x₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R
y₁=$\frac{1}{2}$R
（2）粒子在I區(qū)域的軌跡弧長對應(yīng)的圓心角為$\frac{π}{3}$，進(jìn)入II區(qū)域后，偏轉(zhuǎn)方向改變，軌道半徑不變．
軌跡與弧cd的交點(diǎn)C與A、O在一條直線上，運(yùn)動軌跡如圖2所示．

粒子在I、II兩區(qū)域的運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角相等，故運(yùn)動時(shí)間相等
粒子從O到C的運(yùn)動時(shí)間
t=$\frac{2r\frac{π}{3}}{v}$
整理得：t=$\frac{2πm}{3q{B}_{0}}$
（3）粒子經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)速度沿+x方向，由幾何關(guān)系可知C點(diǎn)的坐標(biāo)值
x₂=$\sqrt{3}$R
y₂=R
若III區(qū)域的磁場方向向外，粒子恰好從f點(diǎn)經(jīng)過時(shí)，軌跡如圖3所示．

由幾何關(guān)系知：
（r₃-y₂）²+（3R-x₂）²=${r}_{3}^{2}$
整理得：r₃=$\frac{13-6\sqrt{3}}{2}R$③
由①③式得：B_x=$\frac{2}{13-6\sqrt{3}}$B₀=$\frac{26+12\sqrt{3}}{61}$B₀
若III區(qū)域中的磁場方向向里，粒子的軌跡恰好與弧ef相切時(shí)，軌跡如圖4所示．

由幾何關(guān)系知：OE=3R-r₄
OE²=${x}_{2}^{2}$+（r₄+y₂）²
整理得：r₄=$\frac{5}{8}$R④
由①④式得：B_x=$\frac{8}{5}$B₀
為保證粒子不從弧ef上射出磁場：
當(dāng)III區(qū)域的磁場方向垂直坐標(biāo)平面向外時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度須滿足
B_x＞$\frac{26+12\sqrt{3}}{61}$B₀
當(dāng)III區(qū)域的磁場方向垂直坐標(biāo)平面向里時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度須滿足
B_x≥$\frac{8}{5}$B₀                           
答：（1）求粒子與弧ab交點(diǎn)的坐標(biāo)值x₁為$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，y₁為$\frac{1}{2}$R；
（2）求粒子在I、II兩區(qū)域中運(yùn)動的總時(shí)間t為$\frac{2πm}{3q{B}_{0}}$；
（3）為使粒子不從弧ef上射出磁場，當(dāng)III區(qū)域的磁場方向垂直坐標(biāo)平面向外時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度須滿足B_x＞$\frac{26+12\sqrt{3}}{61}$B₀ ，當(dāng)III區(qū)域的磁場方向垂直坐標(biāo)平面向里時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度須滿足B_x≥$\frac{8}{5}$B₀．

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在磁場中的運(yùn)動，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力與幾何關(guān)系結(jié)合的分析思路去解決，求解粒子在磁場中運(yùn)動的時(shí)間時(shí)，要注意分析粒子所轉(zhuǎn)過的圓心角或弧長；注意第三問由于未說明III區(qū)域的磁場方向，故存在多解情況．解題關(guān)鍵是要分好過程，畫出粒子的運(yùn)動軌跡，明確粒子每一個(gè)過程的運(yùn)動，一定要規(guī)范作圖，以便更快地找到幾何關(guān)系，提高解題效率．