Question

7．如圖所示，一足夠大的傾角θ=30°的粗糙斜面上有一個(gè)粗細(xì)均勻的由同種材料制成的金屬線框abcd，線框的質(zhì)量m=0.6kg，其電阻值R=1.0Ω，ab邊長(zhǎng)L₁=1m，bc邊長(zhǎng)L₂=2m，與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．斜面以EF為界，EF上側(cè)有垂直于斜面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一質(zhì)量為M的物體用絕緣細(xì)線跨過(guò)光滑定滑輪與線框相連，連接線框的細(xì)線與斜面平行且線最初處于松弛狀態(tài)．現(xiàn)先釋放線框再釋放物體，當(dāng)cd邊離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)線框即以v=2m/s的速度勻速下滑，在ab邊運(yùn)動(dòng)到EF位置時(shí)，細(xì)線恰好被拉直繃緊（時(shí)間極短），隨即物體和線框一起勻速運(yùn)動(dòng)t=1s后開(kāi)始做勻加速運(yùn)動(dòng)．取g=10m/s²，求：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（2）細(xì)繩繃緊前，M下降的高度H；
（3）系統(tǒng)在線框cd邊離開(kāi)磁場(chǎng)至重新進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中損失的機(jī)械能△E．

Answer 1

分析 （1）線框cd邊離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平衡條件可以求出磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）細(xì)線被繃緊后線框與物體做勻速直線運(yùn)動(dòng)，細(xì)線繃緊前物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平衡條件、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式與動(dòng)量定理可以求出物體下落的高度．
（3）應(yīng)用能量守恒定律可以求出損失的機(jī)械能．

解答 解：（1）線框cd邊離開(kāi)磁場(chǎng)后受到的安培力：F=BIL₁=$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}v}{R}$，
線框cd邊離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)勻速下滑，由平衡條件得：
mgsinθ-μmgcosθ-F=0，解得：B=1T；
（2）由題意，線框第二次勻速運(yùn)動(dòng)方向向上，設(shè)其速度為v₁，細(xì)線拉力為T(mén)，
則勻速運(yùn)動(dòng)的速度：v₁=$\frac{{L}_{2}}{t}$=$\frac{2m}{1s}$=2m/s，
對(duì)線框，由平衡條件得：T-mgsinθ-μmgcosθ-$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{1}}{R}$=0，
對(duì)物體，由平衡條件得：T-Mg=0，
設(shè)繩突然繃緊過(guò)程中繩子作用力沖量為I，由動(dòng)量定理得：
對(duì)線框：I=mv₁-m（-v）  對(duì)物體：I=Mv₁-Mv₀，
繩繃緊前M自由下落：v₀²=2gH，解得：H=1.8m；
（3）根據(jù)能量守恒定律得：
線框勻速下滑過(guò)程：Q₁=mgL₂sinθ，
繩子突然繃緊過(guò)程：Q₂=$\frac{1}{2}$Mv₀²+$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²，
線框勻速上滑過(guò)程：Q₃=MgL₂-mgL₂sinθ，
損失的機(jī)械能：△E=Q₁+Q₂+Q₃，解得：△E=21.6J；
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為1T；
（2）細(xì)繩繃緊前，M下降的高度H為1.8m；
（3）系統(tǒng)在線框cd邊離開(kāi)磁場(chǎng)至重新進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中損失的機(jī)械能△E為21.6J．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道綜合題，難度較大，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用平衡條件、能量守恒定律可以解題，第（2）問(wèn)中也可以應(yīng)用動(dòng)量守恒定律求出細(xì)線繃緊前瞬間物體的速度．