Question

7．如圖所示，一足夠大的傾角θ=30°的粗糙斜面上有一個粗細均勻的由同種材料制成的金屬線框abcd，線框的質(zhì)量m=0.6kg，其電阻值R=1.0Ω，ab邊長L₁=1m，bc邊長L₂=2m，與斜面之間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．斜面以EF為界，EF上側(cè)有垂直于斜面向上的勻強磁場．一質(zhì)量為M的物體用絕緣細線跨過光滑定滑輪與線框相連，連接線框的細線與斜面平行且線最初處于松弛狀態(tài)．現(xiàn)先釋放線框再釋放物體，當(dāng)cd邊離開磁場時線框即以v=2m/s的速度勻速下滑，在ab邊運動到EF位置時，細線恰好被拉直繃緊（時間極短），隨即物體和線框一起勻速運動t=1s后開始做勻加速運動．取g=10m/s²，求：
（1）勻強磁場的磁感應(yīng)強度B；
（2）細繩繃緊前，M下降的高度H；
（3）系統(tǒng)在線框cd邊離開磁場至重新進入磁場過程中損失的機械能△E．

Answer 1

分析 （1）線框cd邊離開磁場時做勻速直線運動，應(yīng)用平衡條件可以求出磁感應(yīng)強度．
（2）細線被繃緊后線框與物體做勻速直線運動，細線繃緊前物體做自由落體運動，應(yīng)用平衡條件、勻變速直線運動的速度位移公式與動量定理可以求出物體下落的高度．
（3）應(yīng)用能量守恒定律可以求出損失的機械能．

解答 解：（1）線框cd邊離開磁場后受到的安培力：F=BIL₁=$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}v}{R}$，
線框cd邊離開磁場時勻速下滑，由平衡條件得：
mgsinθ-μmgcosθ-F=0，解得：B=1T；
（2）由題意，線框第二次勻速運動方向向上，設(shè)其速度為v₁，細線拉力為T，
則勻速運動的速度：v₁=$\frac{{L}_{2}}{t}$=$\frac{2m}{1s}$=2m/s，
對線框，由平衡條件得：T-mgsinθ-μmgcosθ-$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{1}}{R}$=0，
對物體，由平衡條件得：T-Mg=0，
設(shè)繩突然繃緊過程中繩子作用力沖量為I，由動量定理得：
對線框：I=mv₁-m（-v）  對物體：I=Mv₁-Mv₀，
繩繃緊前M自由下落：v₀²=2gH，解得：H=1.8m；
（3）根據(jù)能量守恒定律得：
線框勻速下滑過程：Q₁=mgL₂sinθ，
繩子突然繃緊過程：Q₂=$\frac{1}{2}$Mv₀²+$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²，
線框勻速上滑過程：Q₃=MgL₂-mgL₂sinθ，
損失的機械能：△E=Q₁+Q₂+Q₃，解得：△E=21.6J；
答：（1）勻強磁場的磁感應(yīng)強度B為1T；
（2）細繩繃緊前，M下降的高度H為1.8m；
（3）系統(tǒng)在線框cd邊離開磁場至重新進入磁場過程中損失的機械能△E為21.6J．

點評 本題是一道綜合題，難度較大，分析清楚物體運動過程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用平衡條件、能量守恒定律可以解題，第（2）問中也可以應(yīng)用動量守恒定律求出細線繃緊前瞬間物體的速度．