Question

4．如圖所示的豎直直角坐標(biāo)平面xoy內(nèi)有兩條過(guò)原點(diǎn)的射線OA和OB與x軸的正半軸和負(fù)半軸都成45°角，在x軸上方∠AOB區(qū)域間分布著方向垂直紙面向外大小為B₁的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x軸的下方存在著方向垂直紙面向外大小為B₂=$\frac{mv}{qL}$的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)有一質(zhì)量為m，帶電量為+q的帶電粒子以速度v從位于直線OA上的P（L，L）點(diǎn)豎直向下射出，經(jīng)過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，此粒子每經(jīng)過(guò)相同的時(shí)間T會(huì)回到P點(diǎn)，（不計(jì)粒子重力）
（1）求勻強(qiáng)磁場(chǎng)$\frac{B_1}{B_2}$之比；
（2）求粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的時(shí)間間隔T；
（3）若保持B₂不變，而∠AOB間的磁場(chǎng)方向不變，現(xiàn)從P點(diǎn)向下發(fā)射兩個(gè)速度在0-$\frac{v}{2}$范圍內(nèi)與原來(lái)相同的帶電粒子（不計(jì)兩個(gè)粒子間的相互作用力），它們進(jìn)入∠AOB間的勻強(qiáng)磁場(chǎng)后都要經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，求∠AOB間的磁感應(yīng)強(qiáng)度的B'₁的大小．
（4）請(qǐng)判斷：題（3）中若從P點(diǎn)向下發(fā)射的是一群速度在0-$\frac{v}{2}$范圍內(nèi)與原來(lái)比荷相同的帶電粒子（不計(jì)粒子間的相互作用力）它們進(jìn)入B₁′的勻強(qiáng)磁場(chǎng)后能否都經(jīng)過(guò)P點(diǎn)．（不需要寫(xiě)理由）

Answer 1

分析 （1）粒子從P點(diǎn)向下，運(yùn)動(dòng)過(guò)程的軌跡圖畫(huà)出來(lái)，根據(jù)對(duì)稱性，在上下兩磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑相等
（2）求出粒子在上下磁場(chǎng)中的軌道半徑，圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求在磁場(chǎng)中的時(shí)間，在磁場(chǎng)外用勻速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求時(shí)間
（3）畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，通過(guò)幾何關(guān)系可知在上面磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑是下方磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)半徑的2倍，粒子在下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期，在上方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)四分之一圓周，再由半徑公式得出磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的關(guān)系，從而求出上方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度
（4）同（3）分析得出在$0-\frac{v}{2}$范圍的所有粒子運(yùn)動(dòng)只是軌道不同，運(yùn)動(dòng)的規(guī)律一樣，從P先向下勻速，再圓周運(yùn)動(dòng)半周，然后勻速，進(jìn)入第一象限磁場(chǎng)做四分之一圓周，所以都能到P點(diǎn)

解答 解：（1）由P點(diǎn)射出的粒子先做勻速直線運(yùn)動(dòng)進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{2}^{\;}$中，設(shè)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為${R}_{2}^{\;}$，
由$qv{B}_{2}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$得：${R}_{2}^{\;}=\frac{mv}{q{B}_{2}^{\;}}$=L
粒子每經(jīng)過(guò)相同時(shí)間T會(huì)回到P點(diǎn)必滿足在勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{1}^{\;}$中半徑${R}_{1}^{\;}$大小為：
$qv{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$
得：${R}_{1}^{\;}=\frac{mv}{q{B}_{1}^{\;}}=L$
$\frac{{B}_{1}^{\;}}{{B}_{2}^{\;}}=1$
（2）帶電粒子在無(wú)勻強(qiáng)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：${t}_{1}^{\;}=\frac{2L}{v}$
在勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{2}^{\;}$中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{2}^{\;}=\frac{πL}{v}$
在勻強(qiáng)磁場(chǎng)${B}_{1}^{\;}$中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：${t}_{3}^{\;}=\frac{πL}{v}$
故粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的時(shí)間間隔為：$T={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{2L}{v}+\frac{2πL}{v}$
（3）從P點(diǎn)向下發(fā)射速度為${v}_{x}^{\;}$滿足范圍為$0-\frac{v}{2}$與原來(lái)相同的帶電粒子，由于保持${B}_{2}^{\;}$不變，當(dāng)速度v時(shí)半徑為L(zhǎng)，則速度為$0-\frac{v}{2}$的粒子必定經(jīng)過(guò)半個(gè)周期后在x軸正半軸間返回∠AOB間磁場(chǎng)，如圖2所示，進(jìn)入${B}_{1}^{'}$勻強(qiáng)磁場(chǎng)后都要經(jīng)過(guò)P點(diǎn)，則在${B}_{1}^{'}$磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為${B}_{2}^{\;}$磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半徑的兩倍，即$2\frac{m{v}_{x}^{\;}}{q{B}_{2}^{\;}}=\frac{m{v}_{x}^{\;}}{q{B}_{1}^{'}}$
得：$\frac{{B}_{1}^{'}}{{B}_{2}^{\;}}=\frac{1}{2}$
即：${B}_{1}^{'}=\frac{{B}_{2}^{\;}}{2}=\frac{mv}{2qL}$
（4）能
答：（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$之比為$\frac{{B}_{1}^{\;}}{{B}_{2}^{\;}}=1$
（2）粒子相鄰兩次經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的時(shí)間間隔$T=\frac{2L}{v}+\frac{2πL}{v}$
（3）∠AOB間的磁感應(yīng)強(qiáng)度的B′₁的大小為${B}_{1}^{'}=\frac{mv}{2qL}$
（4）能

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)粒子在洛倫茲力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，依據(jù)幾何特性作圖時(shí)解題關(guān)鍵，本題第三問(wèn)、第四問(wèn)重點(diǎn)考查作圖能力，畫(huà)軌跡是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵．