Question

18．如圖所示，質(zhì)量相等的重物A，B用繞過輕小的定滑輪M，N的細(xì)繩連接在一起，重物A，B處于同一水平面上保持靜止?fàn)顟B(tài)，現(xiàn)將質(zhì)量與重物A相同的C掛于與滑輪軸處于同一水平線上的M，N兩輪的中點(diǎn)（MN=2a）．問：
（1）物體C下落達(dá)到平衡位置時(shí)的速度是多少？
（2）下落最大位移是多少？

Answer 1

分析 （1）C先向下做加速運(yùn)動(dòng)，加速度越來越小，當(dāng)加速度為零時(shí)，C的速度最大，分別對(duì)C和AB受力分析，根據(jù)平衡條件列式結(jié)合幾何關(guān)系求出C下降的距離，再對(duì)系統(tǒng)，運(yùn)用機(jī)械能守恒定律求最大速度；
（2）當(dāng)C下落的速度等于0時(shí)，下落的距離最大，此時(shí)ABC三者的速度都為零，根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合機(jī)械能守恒定律列式求解．

解答 解：（1）C先向下做加速運(yùn)動(dòng)，加速度越來越小，當(dāng)加速度為零時(shí)，C的速度最大，設(shè)此時(shí)繩子與水平方向的夾角為α，此時(shí)C受力平衡，則有：
   2Tsinα=mg
AB受力平衡，繩子拉力等于重力，則有T=mg
解得：sinα=$\frac{1}{2}$，即：α=30°
根據(jù)幾何關(guān)系可知，C下落的高度為：h=$\frac{MN}{2}$tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
設(shè)物體C下落達(dá)到平衡位置時(shí)的速度為v₁，A、B的速度為v₂．此過程中，A、C上升的高度 H=$\frac{a}{cos30°}$-a=$\frac{2\sqrt{3}-3}{3}$a
則有 v₂=v₁sin30°
由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒有 
    mgh=2mgH+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$+2×$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$．
解得 v₁=$\frac{3}{5}\sqrt{ga}$
（2）當(dāng)C下落的速度等于0時(shí)，下落的距離最大，此時(shí)ABC三者的速度都為零，設(shè)C下落的最大高度為h′，B上升的高度為h₁，根據(jù)幾何關(guān)系可知：
    h₁=$\sqrt{{a}^{2}+h{′}^{2}}$-a
整個(gè)過程中，整體機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
   mgh′=2mgh₁
解得：h′=$\frac{4}{3}$a
答：
（1）物體C下落達(dá)到平衡位置時(shí)的速度是$\frac{3}{5}\sqrt{ga}$．
（2）下落最大位移是$\frac{4a}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵明確當(dāng)C的加速度為零時(shí)，速度最大．C下落的距離最大時(shí)ABC三者的速度都為零，要注意幾何關(guān)系在解題中的應(yīng)用．