Question

3．如圖所示，一半徑為R的半圓形光滑軌道固定在豎直平面內(nèi)．a(chǎn)、b是軌道的兩個(gè)端點(diǎn)且高度相同，O為圓心．小球A靜止在軌道的最低點(diǎn)，小球B從軌道右端b點(diǎn)的正上方距b點(diǎn)高為2R處由靜止自由落下，從b點(diǎn)沿圓弧切線進(jìn)入軌道后，與小球A相碰．第一次碰撞后B球恰返回到b點(diǎn)，A球上升的最高點(diǎn)為c，Oc連線與豎直方向夾角為60°（兩球均可視為質(zhì)點(diǎn)）．求：
①A、B兩球的質(zhì)量之比$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$．（結(jié)果可以用根式表示）
②判斷A、B兩球碰撞是否為彈性碰撞．

Answer 1

分析 ①根據(jù)機(jī)械能守恒研究B與A碰前的過(guò)程求出碰前的速度大小，第一次碰撞后B球恰返回到b點(diǎn)，A球上升的最高點(diǎn)為c，根據(jù)機(jī)械能守恒列出等式，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列出等式，聯(lián)立求解．
②根據(jù)碰撞前后機(jī)械能是否守恒，分析該碰撞是否是彈性碰撞．

解答 解：①設(shè)B與A碰前的速度大小是v₀，根據(jù)機(jī)械能守恒得：
m_Bg•3R=$\frac{1}{2}$m_B${v}_{0}^{2}$
設(shè)碰后A、B速度大小分別為v_A、v_B，碰后A球上升的過(guò)程，根據(jù)機(jī)械能守恒得：
  $\frac{1}{2}$m_A${v}_{A}^{2}$=m_AgR（1-cos60°）
碰后B球上升的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得：
  $\frac{1}{2}$m_B${v}_{B}^{2}$=m_BgR
規(guī)定向左為正方向，對(duì)于碰撞過(guò)程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
   m_Bv₀=m_Av_A-m_Bv_B
聯(lián)立解得：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$=$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$
②碰撞前，以A點(diǎn)為參考點(diǎn)，A、B系統(tǒng)的機(jī)械能，有：E=m_Bg•3R=3m_BgR
碰后，A、B系統(tǒng)的機(jī)械能為：
E′=m_AgR（1-cos60°）+m_BgR=（$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$）m_BgR（1-cos60°）+m_BgR＜3m_BgR
可知，碰撞過(guò)程中機(jī)械能有損失，所以該碰撞不是彈性碰撞．
答：①A、B兩球的質(zhì)量之比$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$是$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．
②判斷A、B兩球碰撞不是彈性碰撞．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律的直接應(yīng)用，關(guān)鍵要清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握每個(gè)過(guò)程的物理規(guī)律．注意運(yùn)用動(dòng)量守恒定律時(shí)要選取正方向．