Question

如圖所示，O，P，Q三點(diǎn)在同一水平直線上，OP=L，邊長為L的正方形PQMN區(qū)域內(nèi)（含邊界）有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，左側(cè)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)大小為E，質(zhì)量為m，電荷量為q的帶正電粒子從O點(diǎn)由靜止開始釋放，帶電粒子恰好從M點(diǎn)離開磁場(chǎng)．不計(jì)帶電粒子重力，求：

（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B；

（2）粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間；

（3）若圖中電場(chǎng)方向改為向下，場(chǎng)強(qiáng)大小未知，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為原來的4倍，當(dāng)粒子從O點(diǎn)以水平初速度v．射入電場(chǎng)，從PN的中點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，從N點(diǎn)射出磁場(chǎng)，求帶電粒子的初速度v．

Answer 1

考點(diǎn)：  帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)；帶電粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．

專題：  帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)專題．

分析：  （1）帶電粒子在電場(chǎng)中做加速運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)，先根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子加速獲得的速度，由洛倫茲力和向心力公式列式，聯(lián)立方程即可求解B；

（2）根據(jù)勻加速直線運(yùn)動(dòng)位移時(shí)間公式求出粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式求出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，兩者之和即為總時(shí)間；

（3）若圖中電場(chǎng)方向改為向下，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)．粒子從PN的中點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度的反向延長線交水平位移的中點(diǎn)，由速度的偏向角．由幾何知識(shí)求出磁場(chǎng)中軌跡半徑，由洛倫茲力提供向心力，列式求解初速度v．

解答：  解：（1）設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到PN邊時(shí)的速度大小為v．

在電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理得：qEL=mv²…①

粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌跡半徑為：r=L…②

根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得：Bqv=m…③

聯(lián)立①②③式解得：B=

（2）設(shè)粒子在勻強(qiáng)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，有：

  L=at₁²=t₁²…④

解得：t₁=

粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=，

所以有：t₂=

所以粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為：t=t₁+t₂=+=…⑤

（3）根據(jù)題意作出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，如下圖所示，設(shè)此時(shí)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度為v，與水平方向的夾角為θ，粒子此時(shí)在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，即在OP方向上勻速運(yùn)動(dòng)，有：v₀=vcosθ… ⑥

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，速度v的反向延長線交與OP的中點(diǎn)，根據(jù)幾何關(guān)系有：tanθ=1…⑦

粒子此時(shí)在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為：r=…⑧

根據(jù)牛頓第二定律有：4qvB=…⑨

由③⑥⑦⑧⑨式聯(lián)立解得：v₀=

答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B為；

（2）粒子從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間為；

（3）帶電粒子的初速度為．

點(diǎn)評(píng)：  本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，能熟練運(yùn)用動(dòng)能定理或運(yùn)動(dòng)的分解法求出粒子離開電場(chǎng)時(shí)的速度或偏轉(zhuǎn)角度是解題的關(guān)鍵．帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常要結(jié)合幾何關(guān)系求解．