Question

5．宇航員站在某一星球表面上高H處，沿水平方向拋出一小球，經(jīng)過時間t，小球落到星球表面．已知該星球是質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，萬有引力常數(shù)為G，H遠(yuǎn)小于R，且可以忽略星球自轉(zhuǎn)的影響．求：
（1）該星球表面的重力加速度的大�。�
（2）該星球的質(zhì)量M．
（3）該星球的密度ρ．

Answer 1

分析 根據(jù)平拋求出星球表面重力加速度，再根據(jù)重力與萬有引力相等求星球的質(zhì)量，根據(jù)密度的定義式計算星球的密度．

解答 解：（1）平拋運動在豎直方向上做自由落體運動，根據(jù)自由落體運動的規(guī)律$H=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得$g=\frac{2H}{{t}^{2}}$．
（2）在星球表上的物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，得$M=\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{2H{R}^{2}}{{Gt}^{2}}$
（3）根據(jù)密度的定義可知$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{2H{R}^{2}}{{Gt}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3H}{2πGR{t}^{2}}$
答：（1）該星球表面的重力加速度的大小為$\frac{2H}{{t}^{2}}$．（2）該星球的質(zhì)量M為$\frac{2H{R}^{2}}{{Gt}^{2}}$．（3）該星球的密度ρ為$\frac{3H}{2πGR{t}^{2}}$．

點評 本題是萬有引力與平拋運動的綜合，要抓住平拋運動的加速度就等于重力加速度，能熟練運用運動的分解法處理平拋運動，根據(jù)萬有引力等于重力求天體的質(zhì)量．