Question

在如圖所示的空間區(qū)域里，y軸左方有一勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)方向跟y軸正方向成60°，大小為E=4.0×10⁵N/C；y軸右方有一垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.20T．有一質(zhì)子以速度v=2.0×10⁶m/s，由x軸上的A點(diǎn)（10cm，0）沿與x軸正方向成30°斜向上射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后射入電場(chǎng)，后又回到磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)作用后又射入電場(chǎng)．已知質(zhì)子質(zhì)量近似為m=1.6×10^-27kg，電荷q=1.6×10^-19C，質(zhì)子重力不計(jì)．求：
（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑．
（2）質(zhì)子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次到達(dá)y軸所經(jīng)歷的時(shí)間．（計(jì)算結(jié)果保留3位有效數(shù)字）
（3）質(zhì)子第三次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，結(jié)合牛頓第二定律，即可求解；
（2）根據(jù)質(zhì)子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式，結(jié)合圓心角，可求出磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，再根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律，可求出在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，注意來(lái)回時(shí)間，從而即可求解；
（3）質(zhì)子在磁場(chǎng)中，在洛倫茲力作用下，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系，結(jié)合圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式，即可求解．

解答： 解：（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中受洛倫茲力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，根據(jù)：qvB=m

v2

R

解得：R=

mv

qB

=

1.6×10-27×2×106

1.6×10-19×0.2

m=0.10m；
（2）由于質(zhì)子的初速度方向與x軸正方向夾角為30°，且半徑恰好等于OA，因此，質(zhì)子將在磁場(chǎng)中做半個(gè)圓周到達(dá)y軸上的C點(diǎn)，如圖所示．
質(zhì)子做圓周運(yùn)動(dòng)周期為，即為：T=

2πm

qB

，
質(zhì)子從出發(fā)運(yùn)動(dòng)到第一次到達(dá)y軸的時(shí)間為：t₁=

T

2

=

πm

qB

=

π×1.6×10-27

1.6×10-19×0.2

s=1.57×10^-7 s；
質(zhì)子在電場(chǎng)力作用下，產(chǎn)生的加速度：a=

qE

m

=

1.6×10-19×4×105

1.6×10-27

m/s2=4×10¹³m/s²；
質(zhì)子在電場(chǎng)中來(lái)回運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₂，則有：t₂=2×

v

a

=2×

2×106

4×1013

s=1×10^-7s，
因此質(zhì)子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次到達(dá)y軸所經(jīng)歷的時(shí)間：t=t₁+t₂=1.57×10^-7 s+1×10^-7 s=2.57×10^-7 s；
（3）質(zhì)子再次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度的方向與電場(chǎng)的方向相同，在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，到達(dá)y軸的D點(diǎn)．
根據(jù)幾何關(guān)系，可以得出C點(diǎn)到D點(diǎn)的距離為：CD=2Rcos30°；
則質(zhì)子第二次到達(dá)y軸的位置為：
y₂=CD+OC=2Rcos30°+2Rcos30°=20

3

cm≈34.6cm．
即質(zhì)子第三次到達(dá)y軸的坐標(biāo)為（0，34.6cm）．
答：（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為0.1m．
（2）質(zhì)子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第二次到達(dá)y軸所經(jīng)歷的時(shí)間2.57×10^-7 s．
（3）質(zhì)子第三次到達(dá)y軸的位置坐標(biāo)（0，34.6cm）．

點(diǎn)評(píng)：分析帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，首先要畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖，然后根據(jù)洛倫茲力做向心力可求半徑，還可以根據(jù)幾何關(guān)系求半徑，找到粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心角可求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間．如果還存在電場(chǎng)，粒子在電場(chǎng)中一般做勻變速直線運(yùn)動(dòng)或類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)要把運(yùn)動(dòng)分解后研究．