Question

如圖所示，豎直平面（紙面）內(nèi)有直角坐標(biāo)系xOy，x軸沿水平方向。在x≤O的區(qū)域內(nèi)存在方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在第二象限緊貼y軸固定放置長(zhǎng)為l、表面粗糙的不帶電絕緣平板，平板平行于x軸且與x軸相距h。在第一象限內(nèi)的某區(qū)域存在方向相互垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂、方向垂直于紙面向外）和勻強(qiáng)電場(chǎng)（圖中未畫出）。一質(zhì)量為m、不帶電的小球Q從平板下側(cè)A點(diǎn)沿x軸正向拋出；另一質(zhì)量也為m、帶電量為q的小球P從A點(diǎn)緊貼平板沿x軸正向運(yùn)動(dòng)，變?yōu)閯蛩龠\(yùn)動(dòng)后從y軸上的D點(diǎn)進(jìn)入電磁場(chǎng)區(qū)域做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)圓周離開電磁場(chǎng)區(qū)域，沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，然后從x軸上的K點(diǎn)進(jìn)入第四象限。小球P、Q相遇在第四象限的某一點(diǎn)，且豎直方向速度相同。設(shè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球P電量不變，小球P和Q始終在紙面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且均看作質(zhì)點(diǎn)，重力加速度為g。求：

(1)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小，并判斷P球所帶電荷的正負(fù)；

(2)小球Q的拋出速度v₀的取值范圍；

(3)B₁是B₂的多少倍？

Answer 1

解：（1）由題給條件，小球P在電磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，必有重力與電場(chǎng)力平衡，設(shè)所求場(chǎng)強(qiáng)大小為E，有

    ①

得     ②

小球P在平板下側(cè)緊貼平板運(yùn)動(dòng)，其所受洛倫茲力必豎直向上，故小球P帶正電。

（2）設(shè)小球P緊貼平板勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，此時(shí)洛倫茲力與重力平衡，有

    ③

設(shè)小球P以速度v在電磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，有

   ④

設(shè)小球Q與小球P在第四象限相遇點(diǎn)的坐標(biāo)為x、y，有

，   ⑤

小球Q運(yùn)動(dòng)到相遇點(diǎn)所需時(shí)間為，水平方向位移為s，豎直方向位移為d，有

    ⑥

   ⑦

由題意得，  ⑧

聯(lián)立相關(guān)方程，由題意可知v₀＞0,得

0＜v₀≤   ⑨

（3）小球Q在空間做平拋運(yùn)動(dòng)，要滿足題設(shè)要求，則運(yùn)動(dòng)到小球P穿出電磁場(chǎng)區(qū)域的同一水平高度時(shí)的W點(diǎn)時(shí)，其豎直速度與豎直位移必須滿足，

設(shè)小球Q運(yùn)動(dòng)到W點(diǎn)時(shí)間為t，由平拋運(yùn)動(dòng)，有

，

聯(lián)立相關(guān)方程，解得

，即B₁是B₂的0.5倍。