Question

6．如圖所示，水平地面上方有一高度為H、界面分別為PQ、MN的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．矩形導(dǎo)線框abcd在磁場上方某一高度處，導(dǎo)線框ab邊長為l₁，bd邊長為l₂，導(dǎo)線框的質(zhì)量為m，電阻為R．磁場方向垂直于線框平面，磁場高度H＞l₂．線框從某高處由靜止落下，當(dāng)線框的cd邊剛進(jìn)入磁場時(shí)，線框的加速度方向向下、大小為$\frac{3g}{5}$；當(dāng)線框的cd邊剛離開磁場時(shí)，線框的加速度方向向上、大小為$\frac{g}{5}$．運(yùn)動(dòng)過程中，線框平面位于豎直平面內(nèi)，上、下兩邊始終平行PQ．空氣阻力不計(jì)，重力加速度為g．求：
（1）線框開始下落時(shí)cd邊距離磁場上邊界PQ的高度h；
（2）cd邊剛離開磁場時(shí)，電勢差U_cd
（3）從線框的cd邊進(jìn)入磁場至線框的ab邊剛進(jìn)入磁場過程中，線框產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（4）從線框的cd邊進(jìn)入磁場至線框的ab邊剛進(jìn)入磁場的過程中，通過線框?qū)Ь€某一橫截面的電荷量q．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)線框的cd邊剛進(jìn)入磁場時(shí)，線框的加速度方向向下、大小為$\frac{3g}{5}$，根據(jù)安培力公式，結(jié)合牛頓第二定律求出此時(shí)的速度，結(jié)合速度位移公式求出線框開始下落時(shí)cd邊距離磁場上邊界PQ的高度；
（2）當(dāng)線框的cd邊剛離開磁場時(shí)，線框的加速度方向向上、大小為$\frac{g}{5}$，根據(jù)牛頓第二定律求出此時(shí)的速度，從而得出感應(yīng)電動(dòng)勢大小，結(jié)合歐姆定律求出cd的電勢差．
（3）對線框的cd邊進(jìn)入磁場至cd邊剛出磁場的過程運(yùn)用能量守恒求出線框產(chǎn)生的焦耳熱Q．
（4）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，結(jié)合平均電流的大小求出電荷量．

解答 解：（1）當(dāng)線框的cd邊剛進(jìn)入磁場時(shí)，線框的加速度方向向下、大小為$\frac{3g}{5}$，
根據(jù)牛頓第二定律得：$mg-\frac{{B}^{2}{{l}_{1}}^{2}v}{R}=m{a}_{1}$，
代入數(shù)據(jù)解得：v=$\frac{2mgR}{5{B}^{2}{{l}_{1}}^{2}}$，
則線框開始下落時(shí)cd邊距離磁場上邊界PQ的高度為：h=$\frac{{v}^{2}}{2g}$=$\frac{2g{m}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{{l}_{1}}^{4}}$．
（2）當(dāng)線框的cd邊剛離開磁場時(shí)，線框的加速度方向向上、大小為$\frac{g}{5}$．
根據(jù)牛頓第二定律得：$\frac{{B}^{2}{{l}_{1}}^{2}v′}{R}-mg=m{a}_{2}$，
解得：v′=$\frac{6mgR}{5{B}^{2}{{l}_{1}}^{2}}$，
切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為：E=Bl₁v′=$\frac{6mgR}{5B{l}_{1}}$，
則cd兩端的電勢差為：U_cd=$-\frac{{l}_{1}}{2{l}_{1}+2{l}_{2}}E$=$-\frac{3mgR}{5B（{l}_{1}+{l}_{2}）}$．
（3）對線框的cd邊進(jìn)入磁場至cd邊剛出磁場的過程運(yùn)用能量守恒得：
$mgH=\frac{1}{2}mv{′}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$，
解得：Q=mgH-$\frac{16{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{{l}_{1}}^{4}}$．
（4）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得，平均感應(yīng)電動(dòng)勢為：
$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B{l}_{1}{l}_{2}}{R}$，
q=$\overline{I}△t=\frac{\overline{E}}{R}△t$=$\frac{B{l}_{1}{l}_{2}}{R}$．
答：（1）線框開始下落時(shí)cd邊距離磁場上邊界PQ的高度h為$\frac{2g{m}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{{l}_{1}}^{4}}$．；
（2）cd邊剛離開磁場時(shí)，電勢差U_cd為$-\frac{3mgR}{5B（{l}_{1}+{l}_{2}）}$．
（3）從線框的cd邊進(jìn)入磁場至線框的ab邊剛進(jìn)入磁場過程中，線框產(chǎn)生的焦耳熱Q為mgH-$\frac{16{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{25{B}^{4}{{l}_{1}}^{4}}$；
（4）從線框的cd邊進(jìn)入磁場至線框的ab邊剛進(jìn)入磁場的過程中，通過線框?qū)Ь€某一橫截面的電荷量q為$\frac{B{l}_{1}{l}_{2}}{R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識(shí)、能量知識(shí)的綜合應(yīng)用，通過牛頓第二定律和安培力的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{總}}$求出從線框的cd邊進(jìn)入磁場和cd邊剛離開磁場時(shí)的速度是解決本題的關(guān)鍵．