Question

10．如圖所示，光滑絕緣半球槽的半徑為R，半徑0A水平，同時空間存在水平向右的勻強(qiáng)場，一質(zhì)量為m的帶電量為q的小球從槽的右端A處無初速度沿軌道滑下，滑到最低位置B，球?qū)�軌道的壓力�?mg．求：
（1）電場強(qiáng)度的大�。�
（2）小球過B點(diǎn)后能到達(dá)的最高點(diǎn)與半徑0A的距離H；
（3）小球受到的最大支持力．

Answer 1

分析 （1）在B點(diǎn)，對小球進(jìn)行受力分析，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式即可求解B點(diǎn)速度；從A到B的過程中，根據(jù)動能定理列式求出電場強(qiáng)度E的大小
（2）由動能定理可求得H．
（3）當(dāng)速度最大時支持力最大，由向心力公式求解．

解答 解：（1）設(shè)小球運(yùn)動到B點(diǎn)時速度為v，在B點(diǎn)，對小球進(jìn)行受力分析，重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)向心力公式得：
       N-mg=$\frac{m{v}^{2}}{R}$  
    由于球?qū)�軌道的壓力�?mg，
    所以球受到的支持力 N=2mg解得：v=$\sqrt{gR}$  做負(fù)功，
   從A到B根據(jù)動能定理：mgR-qER=$\frac{1}{2}$mv²        解得：E=$\frac{mg}{2q}$
  （2）設(shè)與oA的距離為H，則由動能定理：mgH-Eq（R+$\sqrt{{R}^{2}-{H}^{2}}$）=0
       解得H=$\frac{4}{5}$R
   （3）當(dāng)小球速度最大時所受的支持力最大：球在滑動過程中最大速度的條件：是小球沿軌道運(yùn)動過程某位置時切向合力為零，設(shè)此時小球和圓心間的連線與豎直方的  為θ，如圖，
則：mgsinθ=Fcosθ   解得：tanθ=2

   由A處到最大速度位置得過程中，由動能定理得：
   mgRcosθ-$\frac{1}{2}$mgR（1-sinθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
    解得：v_m=$\sqrt{（\sqrt{5}-1）gR}$
     又由：${F}_{N}-mgcosθ-Eqsinθ=m\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$  可得：${F}_{N}=\frac{7\frac{1}{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}mg$
   
答：（1）電場強(qiáng)度的大小為$\frac{mg}{2q}$；
（2）小球過B點(diǎn)后能到達(dá)的最高點(diǎn)與半徑0A的距離H為$\frac{4}{5}$R；
（3）小球受到的最大支持力為$\frac{7\frac{1}{2}-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$mg．

點(diǎn)評 本題主要考查了動能定理及向心力公式的直接應(yīng)用，要注意電場力方向的判斷，難度適中