Question

18．如圖所示，讓小球從圖中的C位置由靜止開始擺下，擺到最低點(diǎn)D處，擺線剛好從與小球拴接處被拉斷，并立即撤去擺線，小球在粗糙的水平面上由D點(diǎn)向D做勻減速運(yùn)動，到達(dá)小孔A進(jìn)入半徑R=0.3m的豎直放置的光滑豎直圓弧軌道，當(dāng)小球進(jìn)入圓軌道立即關(guān)閉A孔，已知擺線長L=2m，θ=60°，小球質(zhì)量為m=0.5kg，小球與粗糙水平面動摩擦因數(shù)μ=$\frac{1}{8}$，g取10m/s²．求：
（1）小球擺到最低點(diǎn)時的速度以及小球在最低點(diǎn)時對繩子的拉力；
（2）要使小擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，求粗糙水平面DA長度s的范圍．

Answer 1

分析 （1）擺球擺到D點(diǎn)時，擺線的拉力最大，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出擺球擺到D點(diǎn)時速度，由牛頓第二定律求出擺線的最大拉力．
（2）要使擺球能進(jìn)入圓軌道，并且不脫離軌道，有兩種情況：一種在圓心以下做等幅擺動；另一種能通過圓軌道做完整的圓周運(yùn)動．
小球要剛好運(yùn)動到A點(diǎn)，對小球從D到A的過程，運(yùn)用動能定理求出動摩擦因數(shù)μ的最大值；
若小球進(jìn)入A孔的速度較小，并且不脫離軌道，那么將會在圓心以下做等幅擺動，不脫離軌道，其臨界情況為到達(dá)圓心等高處速度為零，根據(jù)機(jī)械能守恒和動能定理求出s．
要使擺球能進(jìn)入圓軌道，恰好到達(dá)軌道的最高點(diǎn)，就剛好不脫離軌道，在最高點(diǎn)時，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求出此時小球的速度，對從D到軌道最高點(diǎn)的過程，運(yùn)用動能定理求解s的最小值，即可得到s的范圍

解答 解析：（1）對CD段應(yīng)用動能定理，得：
mg（L-Lcosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=2$\sqrt{5}$m/s 
在最低點(diǎn)有：T-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$  
解得：T=10N
由作用力與反作用力的關(guān)系可知：小球在最低點(diǎn)對繩子的拉力為10N．
（2）小球不脫圓軌道分兩種情況：
①要保證小球能達(dá)到A孔，設(shè)小球到達(dá)A孔的速度恰好為零，由動能定理可得：
-μmgs₁=0-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可得：s₁=8 m                          
若進(jìn)入A孔的速度較小，那么將會在圓心以下做等幅擺動，不脫離軌道．其臨界情況為到達(dá)圓心等高處速度為零，由機(jī)械能守恒可得：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$              
由動能定理可得：-μmgs₂=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)可求得：s₂=5.6 m    
②小球運(yùn)動到光滑豎直圓弧軌道最高點(diǎn)時，有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入數(shù)據(jù)得：v=$\sqrt{3}$m/s
由動能定理得：2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$                            
代入數(shù)據(jù)解得：小球在A點(diǎn)時的速度為：v_A=$\sqrt{15}$m/s
對DA段應(yīng)用動能定理，有：-μmgs₃=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：s₃=2 m   
綜上，粗糙水平面DA長度s的范圍5.6m≤S≤8m或者s≤2m．   
答：（1）小球擺到最低點(diǎn)時的速度是2$\sqrt{5}$m/s，小球在最低點(diǎn)時對繩子的拉力是10N；
（2）要使小擺球能進(jìn)入圓軌道并且不脫離軌道，粗糙水平面DA長度s的范圍5.6m≤S≤8m或者s≤2m．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是不能漏解，要知道擺球能進(jìn)入圓軌道不脫離軌道，有兩種情況，再根據(jù)牛頓第二定律、機(jī)械能守恒和動能定理結(jié)合進(jìn)行求解．