Question

13．相距為L=2m、質(zhì)量均為m的兩小物塊A、B，靜止放在足夠長的水平面上，它們與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.2．現(xiàn)在用一個(gè)F=0.3mg的水平向右的恒力推A，A開始向右運(yùn)動(dòng)，并與B發(fā)生多次彈性碰撞，且每次碰撞時(shí)間極短，取g=10m∕s²．求：
（1）第一次碰撞后B的速度大小；
（2）第五次碰撞后至第六次碰撞前B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）B運(yùn)動(dòng)的總路程．

Answer 1

分析 （1）第一次碰撞前，推力和滑動(dòng)摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定理求解第一次碰撞前A的速度大小，由于發(fā)生彈性碰撞，A、B的動(dòng)量和機(jī)械能均守恒，即可求得碰后B的速度大小；
（2）由于質(zhì)量相等，兩個(gè)物體交換速度，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別研究第一次、第二次…第n次碰撞后B的速度大小，即可求得第五次碰撞后至第六次碰撞前B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）總結(jié)出第n次碰后到第n+1次碰前B的運(yùn)動(dòng)位移，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識求解總路程．

解答 解：（1）A勻加速L，第一次碰前A的速度設(shè)為v_A1，由動(dòng)能定理得：
（F-μmg）L=$\frac{1}{2}$mv_A1²-0…①
解得：v_A1=$\sqrt{\frac{gL}{5}}$，
A與B發(fā)生第一次彈性碰撞，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，設(shè)碰后速度分別為v_A1′、v_B1′，以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
mv_A1=mv_A1′+mv_B1′…②
由機(jī)械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_A1²=$\frac{1}{2}$mv_A1′²+$\frac{1}{2}$mv_B1′^2…③
解得：v_A1′=0，v_B1′=$\sqrt{\frac{gL}{5}}$；
（2）第一次碰后，設(shè)經(jīng)過t₁B停下，B和A位移分別為S_B1和S_A1，
t₁=$\frac{{v}_{B1}′}{μg}$…④
s_B1=$\frac{{v}_{B1}^{2}}{2μg}$…⑤
s_A1=$\frac{1}{2}$（$\frac{F-μmg}{m}$）t₁²…⑥
解得t₁=$\sqrt{\frac{5L}{g}}$，s_B1=$\frac{L}{2}$，s_A1=$\frac{L}{4}$，
由于S_B1＞S_A1，因此第2次碰前，B已經(jīng)停下．設(shè)第2次碰前A的速度為v_A2，
（F-μmg）•$\frac{1}{2}$L=$\frac{1}{2}$mv_A2²-0…⑦
A與B發(fā)生第2次彈性碰撞，遵守動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，碰后速度交換，設(shè)碰后速度分別為v'_A2，v'_B2
解得v'_A2=0，v'_B2=$\sqrt{\frac{gL}{10}}$，同理依此類推，歸納得第n次碰后B的速度為：
v'_Bn=$\sqrt{\frac{gL}{5×{2}^{n-1}}}$，
第n次碰后到第n+1次碰前B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t_n=$\frac{v{′}_{Bn}}{μg}$，
由此得：t₅=$\sqrt{\frac{5L}{16g}}$；
（3）第n次碰后到第n+1次碰前B的運(yùn)動(dòng)位移：
s_Bn=$\frac{{v}_{Bn}^{2}}{2μg}$，s_Bn=s_B1+s_B2+s_B3+…+s_Bn=$\frac{1}{2}$L+$\frac{1}{{2}^{2}}$L+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$L=L，
另解最終AB靠在一起停下，由能量守恒得：
F（L+S_B）=μmg（L+S_B）+μmgS_B，
解得：S_B=L；
答：（1）第一次碰撞后B的速度大小為$\sqrt{\frac{gL}{5}}$；
（2）第五次碰撞后至第六次碰撞前B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\sqrt{\frac{5L}{16g}}$；
（3）B運(yùn)動(dòng)的總路程為L．

點(diǎn)評 本題是周期性碰撞類型，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法總結(jié)規(guī)律是關(guān)鍵．對于第3問也這樣求解：最終AB靠在一起停下，由能量守恒得：F（L+S_B）=μmg（L+S_B）+μmgS_B解得S_B=L．