Question

11．嫦娥奔月是中國古代的神話傳說，當(dāng)代中國航天人將它變成令人驕傲的現(xiàn)實(shí)，我國已經(jīng)成功發(fā)射了三顆嫦娥系列探月衛(wèi)星，引起了新一輪的“探月”熱潮．若將“嫦娥三號(hào)”繞月球的運(yùn)動(dòng)近似看作是勻速圓周運(yùn)動(dòng)．已知月球半徑R，月球表面的重力加速度為g₀，求：
（1）“嫦娥三號(hào)”繞月球運(yùn)動(dòng)的周期為T時(shí)，其軌道半徑r為多大？
（2）“嫦娥三號(hào)”在離月球表面高為2R的圓軌道上運(yùn)行時(shí)，其速度v為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力與月球表面重力與萬有引力相等兩式求解軌道半徑r；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力與月球表面重力與萬有引力相等兩式求解速度v．

解答 解：（1）在月球表面有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$
當(dāng)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)周期為T時(shí)有：$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$
由以上兩式解得：r=$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）在月球表面有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$
在離月球表面高為2R的圓軌道上運(yùn)行時(shí)有：$G\frac{mM}{（R+2R）^{2}}=\frac{m{v}^{2}}{R+2R}$
由以上兩式可解得v=$\sqrt{\frac{{g}_{0}R}{3}}$
答：（1）“嫦娥三號(hào)”繞月球運(yùn)動(dòng)的周期為T時(shí)，其軌道半徑r為$\root{3}{\frac{{g}_{0}{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）“嫦娥三號(hào)”在離月球表面高為2R的圓軌道上運(yùn)行時(shí)，其速度v為$\sqrt{\frac{{g}_{0}R}{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵抓住兩點(diǎn)：一是星球表面重力與萬有引力相等，二是萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．同時(shí)要熟練掌握萬有引力及向心力的不同表達(dá)式．