Question

【題目】如圖所示為一種“子母球”表演，質(zhì)量分別為m、3m的兩個(gè)小球A、B靜止在地面上方，B球距離地面的高度h=0.8m，A球在B球的正上方，讓兩小球同時(shí)由靜止釋放。設(shè)所有碰撞都是彈性碰撞，重力加速度大小g=10m/s2，忽略球的直徑、空氣阻力及碰撞時(shí)間。

（1）求球B第一次落地時(shí)球A的速度大��；

（2）若球B在第一次上升過(guò)程中就能與球A相碰，A球開(kāi)始下落時(shí)距地面高度H的取值范圍；

（3）在（2）情形下，要使球A第一次碰后能到達(dá)比其釋放點(diǎn)更高的位置，求H應(yīng)滿足的條件。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）A、B同時(shí)由靜止釋放，B落地時(shí)，兩球的速度大小相等，有:

①

代入數(shù)值，得

（2）球B下落過(guò)程與反彈上升的過(guò)程具有對(duì)稱(chēng)性。設(shè)B往返時(shí)間為t，有:

②

設(shè)時(shí)間t內(nèi)球A自由下落的高度為hA，有 ③

要保證B在第一次上升過(guò)程中與A相碰，球A自由下落的高度應(yīng)大于初始時(shí)兩球的高度差，即

④

依題意： ⑤

①~⑤聯(lián)立，解得：

解法二：

B反彈后，A、B相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速率為，設(shè)A、B經(jīng)時(shí)間相碰，有 ②

要保證B在第一次上升過(guò)程中與A相碰，應(yīng)小于B上升到最高點(diǎn)的時(shí)間，即

③

依題意： ④

①~④聯(lián)立，解得：

（3）設(shè)兩球相碰前后，球A的速度分別為、，球B的速度分別為、。發(fā)生彈性碰撞，兩球相碰前后的動(dòng)量守恒，總動(dòng)能保持不變。取向下的方向?yàn)檎�，�?/span>

⑥

⑦

設(shè)球B反彈后經(jīng)時(shí)間t1與球A相碰，此時(shí)間內(nèi)球A下落的高度（）與球B上升的高度（）之和等于初始時(shí)兩球的高度差（H-h）

即： ⑧

由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，有

⑨

⑩

要使A第一次碰后能到達(dá)比釋放點(diǎn)更高的位置，碰后A的速率應(yīng)大于碰前的速率

⑤~聯(lián)立，得

⑤~聯(lián)立求解過(guò)程

由⑥⑦得：

由⑧⑨得：

由⑧⑩得：

代入得：

聯(lián)立，得：

解得：

結(jié)合④，知

解法二：

要使A第一次碰后能到達(dá)比釋放點(diǎn)更高的位置，需要在A下落過(guò)程中與B相碰，且碰后A的速率大于碰前的速率。

分析臨界情況：當(dāng)A碰后與碰前速率剛好相等時(shí)，根據(jù)能量守恒，A球碰后瞬間動(dòng)能不變，B球碰后瞬間動(dòng)能也不變，所以A原速反彈，B也原速反彈。

設(shè)碰前A的速度大小為，B的速度大小為，兩球動(dòng)量變化大小相等，所以有

2m＝2(3m)，即＝3 ⑥

B反彈后，A、B相對(duì)運(yùn)動(dòng)的速率為，設(shè)A、B經(jīng)時(shí)間相碰，有

⑦

由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律，有

⑧

⑨

⑥~⑨聯(lián)立，得

要使A第一次碰后能到達(dá)比釋放點(diǎn)更高的位置，需要滿足：