Question

(16分)2010 年上海世博會(huì)某國(guó)家館內(nèi)，有一“自發(fā)電”地板，利用游人走過(guò)此處，踩踏地板發(fā)電．其原因是地板下有一發(fā)電裝置，如圖⑴所示，裝置的主要結(jié)構(gòu)是一個(gè)截面半徑為r、匝數(shù)為n的線(xiàn)圈，無(wú)摩擦地套在磁場(chǎng)方向呈輻射狀的永久磁鐵槽中．磁場(chǎng)的磁感線(xiàn)沿半徑方向均勻分布，圖⑵為橫截面俯視圖．輕質(zhì)地板四角各連接有一個(gè)勁度系數(shù)為k的復(fù)位彈簧(圖中只畫(huà)出其中的兩個(gè))，輕質(zhì)硬桿P將地板與線(xiàn)圈連接，從而帶動(dòng)線(xiàn)圈上下往返運(yùn)動(dòng)(線(xiàn)圈不發(fā)生形變)，便能發(fā)電．若線(xiàn)圈所在位置磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，線(xiàn)圈的總電阻為R₀，現(xiàn)用它向一個(gè)電阻為R的小燈泡供電．為便于研究，將某人走過(guò)時(shí)對(duì)板的壓力使線(xiàn)圈發(fā)生的位移x隨時(shí)間t變化的規(guī)律簡(jiǎn)化為圖⑶所示．(彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，取線(xiàn)圈初始位置x＝0，豎直向下為位移的正方向)求：

⑴0～t₀時(shí)間內(nèi)線(xiàn)圈中感應(yīng)電流的大小及方向；
⑵t＝t₀/2時(shí)地板受到的壓力；
⑶人踩踏一次地板所做的功．

Answer 1

⑴I＝，俯視逆時(shí)針?lè)较�；⑵F＝2kx₀＋；⑶W＝

試題分析：⑴由圖⑶可知，線(xiàn)圈在0～t₀時(shí)間內(nèi)向下做勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度大小為v＝      ①
線(xiàn)圈在向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中切割磁感線(xiàn)，其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E＝2πnBrv         ②
根據(jù)閉合電路歐姆定律可知，此時(shí)線(xiàn)圈中感應(yīng)電流大小為：I＝        ③
由①②③式聯(lián)立解得：I＝        ④
根據(jù)右手定則可以判斷出感應(yīng)電流的方向?yàn)楦┮暷鏁r(shí)針?lè)较?br />⑵在線(xiàn)圈向下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中受到了磁場(chǎng)向上的安培力作用，大小為：＝2πnBrI         ⑤
根據(jù)胡克定律可知，在t＝t₀/2時(shí)刻，四根彈簧對(duì)地板向上的支持力增加了：ΔF＝4kΔx＝2kx₀     ⑥
由于地板、線(xiàn)圈構(gòu)成整體，勻速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平衡條件可知人對(duì)地板的壓力為：F＝＋ΔF      ⑦
由④⑤⑥⑦式聯(lián)立解得：F＝2kx₀＋
⑶人在踩踏一次地板的過(guò)程中，線(xiàn)圈總位移為0，因此彈簧的彈性勢(shì)能不變，但無(wú)論是線(xiàn)圈勻速向下運(yùn)動(dòng)，還是勻速向上運(yùn)動(dòng)，線(xiàn)圈都切割磁感線(xiàn)，且感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小不變，即回路中感應(yīng)電流的大小不變，產(chǎn)生電熱，根據(jù)功能關(guān)系有：W＝ΔE         ⑧
根據(jù)焦耳定律有：ΔE＝2I²(R＋R₀)t₀         ⑨
由④⑧⑨式聯(lián)立解得：W＝