Question

9．“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星于2013年12月2日凌晨在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，將實(shí)現(xiàn)“落月”的新階段．若已知引力常量為G，地球的半徑R，月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r₁、周期為T₁，“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的環(huán)月軌道半徑為r₂、周期為T₂，不計(jì)其他天體的影響，根據(jù)題目條件可以（　�。�

• A． 求出“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星的質(zhì)量
• B． 求出月球與地球之間的萬有引力
• C． 得出$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$=$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$
• D． 求出地球的密度

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合探月衛(wèi)星繞月球的軌道半徑和周期求出月球的質(zhì)量，抓住地球?qū)υ虑虻囊�力等于月球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，求出月球和地球之間的萬有引力．根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合月球的軌道半徑和周期求出地球的質(zhì)量，根據(jù)地球的體積求出地球的密度．由于探月衛(wèi)星和月球做圓周運(yùn)動(dòng)的中心天體不同，則軌道半徑的三次方與周期的二次方的比值不等．

解答 解：A、“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)，屬于環(huán)繞天體，運(yùn)用萬有引力提供向心力求解時(shí)，質(zhì)量被約去，無法求出探月衛(wèi)星的質(zhì)量，故A錯(cuò)誤．
B、根據(jù)$G\frac{{M}_{月}m}{{{r}_{2}}^{2}}=m{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}$得，月球的質(zhì)量${M}_{月}=\frac{4{π}^{2}{{r}_{2}}^{3}}{G{{T}_{2}}^{2}}$，地球?qū)υ虑蛑�間的萬有引力提供月球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則F=${M}_{月}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$，故B正確．
C、由于月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)和探月衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的中心天體不同，不滿足開普勒第三定律，即$\frac{{{r}_{1}}^{3}}{{{T}_{1}}^{2}}$≠$\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{T}_{2}}^{2}}$，故C錯(cuò)誤．
D、根據(jù)$G\frac{{M}_{地}{M}_{月}}{{{r}_{1}}^{2}}={M}_{月}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$得，地球的質(zhì)量${M}_{地}=\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}$，則地球的密度$ρ=\frac{\frac{4{π}^{2}{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}}}{\frac{4π{R}^{3}}{3}}=\frac{3π{{r}_{1}}^{3}}{G{{T}_{1}}^{2}{R}^{3}}$，故D正確．
故選：BD．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力這一重要理論，知道根據(jù)該理論只能求出中心天體的質(zhì)量，不能求解環(huán)繞天體的質(zhì)量．