(2013?安徽模擬)光滑的長直斜面軌道固定在豎直平面內(nèi),與水平軌道BCD連接,水平軌道的BC段粗糙,CD段光滑,一根輕質(zhì)彈簧一端固定在D處的豎直面上,另一端與質(zhì)量為3m的物塊b則好在C點接觸(不連接),彈簧處于水平自然長度.將質(zhì)量為m的物塊a從斜面軌道上的A點由靜止釋放下滑.物塊a與物塊b第一次碰撞后一起向右壓縮彈簧.已知A點的高度為h,BC=l,物塊a、b與BC段水平軌道的動摩擦因數(shù)分別為μ1=0.25和μ2=0.4,重力加速度為g,物塊a、b均可視為質(zhì)點.求:
(1)物塊a第一次經(jīng)過B點時的速度;
(2)彈簧在形變過程中,所能獲得的最大彈性勢能;
(3)試討論釋放點高度h取何值時,a、b能且只能發(fā)生一次碰撞.
分析:(1)由機械能守恒求速度
(2)由動能定理和動量守恒求彈簧的彈性勢能,系統(tǒng)的動能全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性,由能量守恒定律求解最大的彈性勢能.
(3)由于物塊b的加速度大小大于物塊a的加速度大小,所以經(jīng)過C點后,a、b兩物塊分離,同時也與彈簧分離.
解答:解:(1)物塊a由A到B過程中,由機械能守恒定律得:mgh=
1
2
mv
2
1

所以第一次經(jīng)過B點時的速度v1=
2gh

(2)物塊a從B到C過程中,由動能定理得:
-μ1mgl=
1
2
mv
2
C1
-
1
2
mv
2
1

解得物塊a在C點的速度
vC1=
2g(h-0.25l)

物塊a、b在C點碰撞,根據(jù)動量守恒有:
mvC1=4mvC2
解得兩物塊在C點向右運動速度
vC2=
g(h-0.25l)
8

a、b將彈簧壓縮過程中,系統(tǒng)a、b的動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能,有:
EPmax=
1
2
×4
mv
2
C2
=
mg(h-0.25l)
4

(3)a、b一起壓縮彈簧后又返回C點時速度大小
vC3=vC2=
g(h-0.25l)
8

由于物塊b的加速度大小大于物塊a的加速度大小,所以經(jīng)過C點后,a、b兩物塊分離,同時也與彈簧分離.
討論:①假設(shè)a在C處時速度為vC1=
2g(h-0.25l)
=0,即h=0.25l
要使a、b能夠發(fā)生碰撞,則h>0.25l
②假設(shè)物塊a滑上斜面軌道又返回,最終停在水平軌道上P點,物塊b在水平軌道上勻減速滑到P點也恰好停止.設(shè)PB=x,則CP=l-x,根據(jù)能量守恒
對a:μ1mg(l+x)=
1
2
mv
2
C3

對b:μ23mg(l-x)=
1
2
×3
mv
2
C3

由以上兩式解得:
x=
3
13
l

h=
269
52
l

要使a、b只發(fā)生一次碰撞,則h
269
52
l

所以,當0.25l≤h≤
269
52
l
時,a、b兩物塊能且只能發(fā)生一次碰撞.
答:(1)物塊a第一次經(jīng)過B點時的速度v1=
2gh
;
(2)彈簧在形變過程中,所能獲得的最大彈性勢能
mg(h-0.25l)
4
;
(3)當0.25l≤h≤
269
52
l
時,a、b兩物塊能且只能發(fā)生一次碰撞.
點評:本題綜合考查了機械能守恒定律、動量守恒定律和動能定理,對學生能力的要求較高,其中第三問難度較高.
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