Question

6．如圖所示，某衛(wèi)星S繞地球做周期為T的勻速圓周運動，地球相對于衛(wèi)星S的張角為θ．地球視為質(zhì)量分布均勻的球體，其表面重力加速度為g，引力常量為G．求：
（1）衛(wèi)星S的速度大��；
（2）地球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系求得衛(wèi)星軌道半徑，根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力和萬有引力等于重力求解．

解答 解：（1）由題意令衛(wèi)星的軌道半徑為r，地球的半徑為R，根據(jù)幾何關(guān)系可知，
r=$\frac{R}{sin\frac{θ}{2}}$
根據(jù)萬有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
T=2π $\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
根據(jù)萬有引力等于重力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg，
聯(lián)立解得：R=$\frac{{{gT}^{2}si{n}^{3}（\frac{θ}{2}）}^{\;}}{{4π}^{2}}$，r=$\frac{{{gT}^{2}si{n}^{2}（\frac{θ}{2}）}^{\;}}{{4π}^{2}}$
衛(wèi)星S的速度大小為：v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{Tg}{2π}$sin²$\frac{θ}{2}$，
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
v=$\sqrt{gR}$=$\frac{Tg}{2π}$$\sqrt{{sin}^{3}\frac{θ}{2}}$，
答：（1）衛(wèi)星S的速度大小是$\frac{Tg}{2π}$sin²$\frac{θ}{2}$；
（2）地球的第一宇宙速度是$\frac{Tg}{2π}$$\sqrt{{sin}^{3}\frac{θ}{2}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵是能根據(jù)幾何關(guān)系求得衛(wèi)星軌道半徑與地球半徑的大小關(guān)系，這是學生容易出錯的主要地方．