Question

4．物體A的質量為m_A，圓環(huán)B的質量為m_B，通過繩子連結在一起，圓環(huán)套在光滑的豎直桿上，開始時連接圓環(huán)的繩子處于水平，如圖所示，長度l=4m，現(xiàn)從靜止釋放圓環(huán)．不計定滑輪和空氣的阻力，取g=10m/s²．求：
（1）若m_A：m_B=5：2，則圓環(huán)能下降的最大距離h_m．
（2）若圓環(huán)下降h₂=3m時的速度大小為4m/s，則兩個物體的質量應滿足怎樣的關系？
（3）若m_A=m_B，請定性說明小環(huán)下降過程中速度大小變化的情況及其理由．

Answer 1

分析 （1）圓環(huán)下降過程中，圓環(huán)與A組成的系統(tǒng)機械能守恒，由此可得質量關系式，進而由幾何關系分析AB的位移關系，可得兩物體的質量關系．
（2）由圓環(huán)與A組成的系統(tǒng)機械能守恒，結合可得此時AB速度關系，可得質量關系．
（3）根據兩球的運動過程可明確能量的轉化，則可判斷小球的速度變化情況．

解答 解：（1）設圓環(huán)所能下降的最大距離為h_m，由機械能守恒定律得m_Bgh_m=m_Agh _A
$h_{m}^2+{l^2}={（l+{h_A}）^2}$
代入數(shù)字 得$\frac{21}{25}$h_m²-$\frac{16}{5}$h_m=0
得h=$\frac{80}{21}$m≈3.8m
（2）由機械能守恒 ${m_B}g{h_2}={m_A}g{h_A}+\frac{1}{2}{m_B}v_B^2+\frac{1}{2}{m_A}v_A^2$
v_A=v_Bcosθ
${v_A}={v_B}cosθ={v_B}\frac{h}{{\sqrt{{h^2}+{l^2}}}}=4×\frac{3}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=2.4m/s$
解得兩個物體的質量關系：$\frac{mA}{mB}$=$\frac{275}{161}$≈1.71
（3）當m_A=m_B，且l 確定時，根據幾何關系可知小環(huán)下降的高度大于A上升的高度，則在小環(huán)在下降過程中，系統(tǒng)的重力勢能一直在減少，
根據系統(tǒng)的機械能守恒可知系統(tǒng)的動能一直在增加，所以小環(huán)在下降過程中速度一直增大．
答：（1）若m_A：m_B=5：2，則圓環(huán)能下降的最大距離h_m為3.8m；
（2）若圓環(huán)下降h₂=3m時的速度大小為4m/s，則兩個物體的質量之比應為1.71；
（3）系統(tǒng)的動能一直在增加，所以小環(huán)在下降過程中速度一直增大．

點評 該題的關鍵是用好系統(tǒng)機械能守恒這個知識點；難點是對于B的速度極限值的判斷，其條件是m＞＞M，即A的質量可以忽略，認為B的機械能守恒．