Question

6．無線充電可以讓手機充電是擺脫電源線的束縛．某種無線充電原理是：首先通過一個安置在墻 面插座上的電流轉化器，將電能轉化為超聲波；讓用電設備上的接收器捕獲超聲波訊號，將其在轉化回電能為設備充電．接收器單位面積上接收到的超聲波功率與接收器和電流轉化器之間距離s的平方成反比，其將超聲波轉化為電能的轉化效率為η₁．原理圖如圖所示． 
某實驗電動小汽車質量為m，其電池將電能轉為機械能的效率為η₂．某次實驗用該裝置給其充電，接收器和電流轉換器間距離為s₀，充電時間為t₀，此時電池剛好充滿電．充好電后啟動小汽車，小汽車經過足夠長的距離（電能已耗盡）后進入一半徑為R的豎直放置的圓形軌道，安裝在軌道最高點的力傳感器顯示所受壓力大小恰為小車重力大�。�不計一切摩擦，小車在運動過程中可視為質點，電池在充滿電后會自動停止充電，已知重力加速度為g．請求出：

（1）電動小車在最高點的速度大小v；
（2）此次實驗中接收器接受到的超聲波的功率P；
（3）若小車不脫離軌道，充電時間t與接收器和電流轉換器間距離，應滿足什么關系？

Answer 1

分析 （1）電動小車在最高點受重力和支持力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解即可；
（2）根據(jù)機械能定義求解出小車的機械能，根據(jù)能量守恒定律列式求解接收器接受到的超聲波的功率P；
（3）小車不脫離軌道，有兩種可能：做完整的圓周運動或者未到高度R而原路返回；根據(jù)能量守恒定律列式分析即可．

解答 解：（1）在最高點：mg+F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，又F_N=mg
解得：v=$\sqrt{2gR}$
（2）設小車在水平軌道上的動能為E_k，從水平軌道到最高點滿足機械能守恒，即
E_k=mg•2R+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：E_k=3mgR
又電動小車的電池將電能耗盡，部分轉化為小車的機械能，即
E_k=Pt₀η₁η₂
故可得：
P=$\frac{3mgR}{{η}_{1}{η}_{2}{t}_{0}}$
（3）若不脫離軌道，則小車可能有兩種情況：1）做完整的圓周運動；2）未到高度 R 即原路返回．
1）做完整的圓周運動
若恰好達到軌道最高點，則
$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$?
從水平軌道到最高點滿足機械能守恒
${E}_{k1}=mg（2R）+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
又E_k1=P₁tη₁η₂
由以上各式可得：
$\frac{{E}_{k}}{{E}_{k1}}=\frac{P{t}_{0}}{{P}_{1}t}=\frac{3mgR}{2.5mgR}$，又$\frac{P}{{P}_{1}}=\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$
故$t=\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$，
即此時恰到達最高點，故能通過最高點的條件是$t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$；
考慮到電池可能充滿電，P₁t≤Pt₀，又$\frac{P}{{P}_{1}}=\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$，
可得t≤$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$
綜上，若做完整的圓周運動，應滿足：$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}≥t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$
2）未到高度 R 即原路返回
若恰好上升高度為 R，則E_k2=mgR，又E_k2=P₂tη₁η₂
由以上各式可得：$\frac{{E}_{k}}{{E}_{k2}}=\frac{P{t}_{0}}{{P}_{2}t}=\frac{3mgR}{mgR}$，又$\frac{P}{{P}_{2}}=\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}$
故$t=\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$，
即此時恰到上升高度 R，故此種情況下應滿足
t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$．
此情況下由于E_k2=mgR＜E_k，即電池并未充滿電．
綜上，若滿足t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$或是$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}≥t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$，則小車不會脫離軌道．
答：（1）電動小車在最高點的速度大小v為$\sqrt{2gR}$；
（2）此次實驗中接收器接受到的超聲波的功率P為$\frac{3mgR}{{η}_{1}{η}_{2}{t}_{0}}$；
（3）若小車不脫離軌道，充電時間t與接收器和電流轉換器間距離，應滿足t≤$\frac{{s}^{2}}{3{s}_{0}^{2}}{t}_{0}$或$\frac{{s}^{2}}{{s}_{0}^{2}}{t}_{0}≥t≥\frac{5{s}^{2}}{6{s}_{0}^{2}}$的關系．

點評 本題關鍵明確小車的運動規(guī)律，結合機械能守恒定律、能量守恒定律、牛頓第二定律列式求解；第三問要注意分完整圓周運動和不完整圓周運動進行分析．