Question

20．在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星．它們在相互的萬有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運動．如果雙星間距為L，質量分別為M₁和M₂，試計算：
（1）雙星的軌道半徑；
（2）雙星的運行周期；
（3）雙星的線速度．

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比，進一步計算軌道半徑大��；據(jù)萬有引力提供向心力計算出周期；由線速度定義式可得線速度．

解答 解：設行星轉動的角速度為ω，周期為T．
（1）如圖，對星球M₁，由向心力公式可得：
$G\frac{{M}_{1}{M}_{2}}{{L}^{2}}$=M₁ω²R₁，
同理對星M₂，有：$G\frac{{M}_{1}{M}_{2}}{{L}^{2}}$=M₂ω²R₂
兩式相除得：
$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}=\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}}$，（即軌道半徑與質量成反比）
又因為L=R₁+R₂
所以得：
R₁=$\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L$，
R₂=$\frac{{M}_{1}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L$．
（2）由上式得到ω=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}{L}}$，
因為T=$\frac{2π}{ω}$，
所以：$T=2πL\sqrt{\frac{L}{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}}$．
（3）由$v=\frac{2πR}{T}$可得雙星線速度為：
${v}_{1}=\frac{2π{R}_{1}}{{T}_{\;}}=\frac{2π\(zhòng)frac{{M}_{2}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L}{2πL\sqrt{\frac{L}{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}}}$=${M}_{2}\sqrt{\frac{G}{（{M}_{1}+{M}_{2}）L}}$，

${v}_{2}=\frac{2π{R}_{2}}{{T}_{\;}}=\frac{2π\(zhòng)frac{{M}_{1}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L}{2πL\sqrt{\frac{L}{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}}}$=${M}_{1}\sqrt{\frac{G}{（{M}_{1}+{M}_{2}）L}}$．
答：（1）雙星的軌道半徑R₁=$\frac{{M}_{2}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L$；R₂=$\frac{{M}_{1}}{{M}_{1}+{M}_{2}}L$；
（2）雙星的運行周期$2πL\sqrt{\frac{L}{G（{M}_{1}+{M}_{2}）}}$；
（3）雙星的線速度${{v}_{1}=M}_{2}\sqrt{\frac{G}{（{M}_{1}+{M}_{2}）L}}$；${v}_{2}={M}_{1}\sqrt{\frac{G}{（{M}_{1}+{M}_{2}）L}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．