Question

15．如圖所示，為一磁約束裝置的原理圖，圓心為原點(diǎn)O、半徑為R₀的圓形區(qū)域Ⅰ內(nèi)有方向垂直xoy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一束質(zhì)量為m、電量為q帶正電粒子從坐標(biāo)為（0、R₀）的A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向以速度v₀射入磁場(chǎng)區(qū)域Ⅰ，粒子全部經(jīng)過(guò)x軸上的P點(diǎn)，方向沿x軸正方向．當(dāng)在環(huán)形區(qū)域Ⅱ加上方向垂直于xoy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)，上述粒子仍從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ，粒子經(jīng)過(guò)區(qū)域Ⅱ后從Q點(diǎn)第2次射入?yún)^(qū)域Ⅰ，已知OQ與x軸正方向成60⁰．不計(jì)重力和粒子間的相互作用．求：
（1）區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大��；
（2）若要使所有的粒子均約束在區(qū)域內(nèi)，則環(huán)形區(qū)域Ⅱ中B₂的大小、方向及該環(huán)形半徑R至少為多大；
（3）粒子從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入后至再次以相同的速度經(jīng)過(guò)A點(diǎn)最短時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ做圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求解磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小；
（2）在環(huán)形區(qū)域Ⅱ中，當(dāng)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡與外圓相切，畫(huà)出軌跡，由幾何關(guān)系求解軌跡半徑，再求解B₂的大�。�
（3）根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角，再求解運(yùn)動(dòng)周期和運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)在區(qū)域Ⅰ內(nèi)軌跡圓半徑為：r₁=R₀
r₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
所以：${B_1}=\frac{{m{v_0}}}{{q{R_0}}}$
（2）設(shè)粒子在區(qū)域Ⅱ中的軌跡圓半徑為r₂，部分軌跡如圖，有幾何關(guān)系知：r₂=$\frac{\sqrt{3}}{3}{r}_{1}$，
又r₂=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$，
所以：${B_2}=\sqrt{3}{B_1}=\frac{{\sqrt{3}m{v_0}}}{{q{R_0}}}$
方向與B₁相反，即垂直xoy平面向外，由幾何關(guān)系得：
R=2r₂+r₂=3r₂
即：R=$\sqrt{3}{R}_{0}$
（3）軌跡從A點(diǎn)到Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)圓心角：θ=90°+60°=150°，要仍從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入，需滿足； 
150n=360m，m、n屬于自然數(shù)，即取最小整數(shù)m=5，n=12
$T=12（\frac{1}{4}{T}_{1}+\frac{2}{3}{T}_{2}）$，其中${T}_{1}=\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，${T}_{2}=\frac{2πm}{q{B}_{2}}$（也可以用${T_1}=\frac{{2π{r_1}}}{v_0}，{T_2}=\frac{{2π{r_2}}}{v_0}$）
代入數(shù)據(jù)得：$T=（\frac{{16\sqrt{3}}}{3}+6）•\frac{{π{R_0}}}{v_0}$
答：（1）區(qū)域Ⅰ中磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小是$\frac{m{v}_{0}}{q{R}_{0}}$；
（2）若要使所有的粒子均約束在區(qū)域內(nèi)，則環(huán)形區(qū)域Ⅱ中B₂的大小是$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{q{R}_{0}}$、方向與B₁相反，該環(huán)形半徑R至少為$\sqrt{3}R$；
（3）粒子從A點(diǎn)沿y軸負(fù)方向射入后至再次以相同的速度經(jīng)過(guò)A點(diǎn)最短時(shí)間是$（\frac{16\sqrt{3}}{3}+6）•\frac{π{R}_{0}}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，解決本題的關(guān)鍵掌握帶電粒子在有界磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，如何確定圓心、半徑．