Question

6．洛倫茲力演示儀可以演示電子在勻強磁場中的運動徑跡．圖甲為洛倫茲力演示儀實物圖，圖乙為洛倫茲力演示儀結構示意圖．演示儀中有一對彼此平行的共軸串聯的圓形線圈（勵磁線圈），當通過勵磁線圈的電流為I時，線圈之間產生沿線圈軸向、磁感應強度B=kI（k=1×10^-3T/A）的勻強磁場；半徑R=10$\sqrt{3}$cm的圓球形玻璃泡內有電子槍，可通過加速電壓U對初速度為零電子加速并連續(xù)發(fā)射出，電子剛好從球心的正下方S點沿水平方向射出．已知圖乙所示演示儀中勵磁線圈產生的磁場方向垂直紙面向里，OS=10cm，電子的比荷$\frac{e}{m}$取1.75×10¹¹C/kg．

（1）若電子槍的加速電壓U=35V，則電子離開電子槍的速度大小是多少？
（2）電子以（1）問中的速度進入磁場，且勵磁線圈中的電流大小I=1A，則電子在磁場中運動的半徑是多少？
（3）若電子槍的加速電壓可以在0到875V的范圍內連續(xù)調節(jié)，且勵磁線圈的電流從0.5A到2A的范圍內連續(xù)調節(jié)．求玻璃泡上被電子擊中的范圍（僅要求在圖中玻璃泡壁上用筆標出即可），和電子運動到兩邊界點對應的半徑大�。�

Answer 1

分析 （1）電子在電場中加速，由動能定理可以求出電子獲得的速度．
（2）電子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出電子軌道半徑．
（3）求出電子做圓周運動的軌道半徑，然后確定電子打在玻璃泡上的范圍．

解答 解：（1）電子在電子槍中加速，根據動能定理：eU=$\frac{1}{2}$mv²-0  ①
可得：v=$\sqrt{\frac{2eU}{m}}$=3.5×10⁶m/s  ②
（2）電子由洛倫茲力提供圓周運動的向心力：evB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$    ③
由題意得 B=kI=1×10^-3T
解得：r=2cm          ④
（3）聯立上述方程可得 r=$\frac{\sqrt{\frac{2mU}{e}}}{kI}$   ⑤
當電壓取875 V，電流取0.5 A時，半徑最大．
最大值為 r=20cm．              ⑥
此時電子達到C點，在三角形OCO′中，由余弦定理：
  O′C²=OC²+OO′²+2OC•OO′•cos∠COO′⑦
解得：cos∠COO′=$\frac{π}{2}$                 ⑧
當粒子的半徑比較小的時候，與圖中的D點相切，此時半徑為（5+5$\sqrt{3}$）cm．  ⑨
如下圖所示電子打到玻璃泡上的范圍在CD之間．⑩

答：
（1）若電子槍的加速電壓為U=35v，則電子離開電子槍的速度大小是3.5×10⁶m/s；
（2）電子在磁場中的運動半徑是2cm．
（3）若電子槍的加速電壓可以在0到875V的范圍內連續(xù)調節(jié)，且勵磁線圈的電流從0.5A到2A的范圍內連續(xù)調節(jié)．玻璃泡被電子連續(xù)擊中的范圍如圖CD所示，電子運動到兩邊界點對應的半徑大小分別為：20cm、（5+5$\sqrt{3}$）cm．

點評 本題考查了粒子在磁場中運動在實際生活中的應用，正確分析出儀器的原理是關鍵，要掌握粒子在磁場中運動問題的基本方法：定圓心、定半徑、畫軌跡．