Question

4．如圖（a）所示，豎直平面內(nèi)（紙面）內(nèi)有直角坐標(biāo)系xOy，x軸沿水平方向，足夠大的區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)電場（場強(qiáng)方向圖中未畫出），y軸右側(cè)（包括y軸）有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間變化的規(guī)律如圖（b）所示，一水平放置的絕緣輕彈簧一端固定在負(fù)半軸的某處，另一端與一質(zhì)量為m，電量為+q的小球接觸．現(xiàn)用水平外力作用于小球，使小球擠壓彈簧后由靜止釋放小球，小球在t=0時(shí)刻以速度V₀經(jīng)過O點(diǎn)，此時(shí)小球恰好與彈簧分離，小球勻速運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，再次通過P點(diǎn)時(shí)小球速度沿y軸負(fù)方向．求：

（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)大小E及小球由靜止釋放運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)彈簧彈性勢能的變化量△Ep；
（2）若T₀為已知量，在P點(diǎn)的右側(cè)還存在一點(diǎn)P₀（位于x軸上，圖中未畫出）小球通過P點(diǎn)后，經(jīng)一段時(shí)間，通過P₀點(diǎn)時(shí)速度沿y正方向，求當(dāng)t₀取最大值時(shí)，B₀應(yīng)滿足的條件；
（3）若t₀=0，B₀為已知量，經(jīng)過足夠長時(shí)間后，將一不計(jì)重力的帶電粒子以初速度V沿y軸正方向發(fā)射，該粒子將在xOy平面內(nèi)做周期性的運(yùn)動(dòng)，軌跡如圖（c）所示，且有任意時(shí)刻該粒子速度的水平分量V_x與其所在位置的y軸坐標(biāo)值成正比，其比例系數(shù)k與場強(qiáng)大小E無關(guān)，求該粒子運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度V_m．

Answer 1

分析 （1）粒子從O到P點(diǎn)，粒子做勻速運(yùn)動(dòng)，由共點(diǎn)力的平衡條件可得電場強(qiáng)度的方向，再由動(dòng)能定理求得彈簧的彈性勢能；
（2）小球先做勻速直線運(yùn)動(dòng)，再做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，分析小球的運(yùn)動(dòng)過程，則可得出時(shí)間關(guān)系，求出周期，可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度
（3）分別求得xy軸方向的分速度，在表示出合速度，根據(jù)粒子做圓周運(yùn)動(dòng)得出y軸坐標(biāo)值與最大速度關(guān)系，兩式相等求解即可．

解答 解：（1）小球A在OP之間內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：Eq=mg
解得：E=$\frac{mg}{q}$；
小球到達(dá)O點(diǎn)的速度為v₀，有能量守恒可知彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能，得：△${E}_{P}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
（2）小球A在0至t₀時(shí)間做勻速直線運(yùn)動(dòng)在t₀至2T₀時(shí)間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)?
設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)半徑為R，周期為T?
要能實(shí)現(xiàn)小球A再次過P點(diǎn)時(shí)速度沿y軸負(fù)方向?則一定有
2T₀-t₀=（n+$\frac{3}{4}$）T（n=0.1，2----）解得：${t}_{0}=2{T}_{0}-\frac{4n+3}{4}T$，
當(dāng)n=0時(shí)，t₀最大，即$\frac{3}{4}T=2{T}_{0}-{t}_{0}$，解得：$T=\frac{4（2{T}_{0}-{t}_{0}）}{3}$①
則由洛侖茲力公式及勻速圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律得?
T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$②
由①②聯(lián)立解得：$R=\frac{2（2{T}_{0}-{t}_{0}）{v}_{0}}{3π}$③
qB₀v₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$④
聯(lián)立③④式解得：
B₀=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$=$\frac{3πm}{2q（2{T}_{0}-{t}_{0}）}$
（3）設(shè)粒子到達(dá)縱坐標(biāo)y處速度最大，根據(jù)題意知：粒子水平方向速度v_x=ky
不計(jì)重力，則豎直方向有牛頓第二定律得：${v}_{y}^{2}=2ay=-\frac{2Eq}{m}y$，
粒子速度v_m=$\sqrt{{v}_{y}^{2}+{v}_{x}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}{y}^{2}-\frac{2Eq}{m}y}$，y取最大值時(shí)，合速度v_m最大，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)得：$y=\frac{m{v}_{m}}{Bq}$
即：${v}_{m}^{2}={k}^{2}\frac{{m}^{2}{v}_{m}^{2}}{{B}^{2}{q}^{2}}-\frac{2Eq}{m}\frac{m{v}_{m}}{Bq}$，
解得：${v}_{m}=\frac{B{q}^{2}（2E+B）}{{k}^{2}{m}^{2}}$
答：（1）電場強(qiáng)度的大小為E=$\frac{mg}{q}$彈簧彈性勢能的變化量△Ep$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$；
（2）B₀應(yīng)滿足的條件為B₀=$\frac{3πm}{2q（2{T}_{0}-{t}_{0}）}$
（3）粒子運(yùn)動(dòng)過程中的最大速度V_m為$\frac{B{q}^{2}（2E+B）}{{k}^{2}{m}^{2}}$

點(diǎn)評 本題考查帶電粒子在電場及磁場中的運(yùn)動(dòng)，題目的難度在于運(yùn)動(dòng)過程的多樣性，故在分析時(shí)要注意明確運(yùn)動(dòng)過程，并合理的運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解求解．