Question

4．如圖（a）所示，豎直平面內(nèi)（紙面）內(nèi)有直角坐標系xOy，x軸沿水平方向，足夠大的區(qū)域內(nèi)存在勻強電場（場強方向圖中未畫出），y軸右側(cè)（包括y軸）有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小隨時間變化的規(guī)律如圖（b）所示，一水平放置的絕緣輕彈簧一端固定在負半軸的某處，另一端與一質(zhì)量為m，電量為+q的小球接觸．現(xiàn)用水平外力作用于小球，使小球擠壓彈簧后由靜止釋放小球，小球在t=0時刻以速度V₀經(jīng)過O點，此時小球恰好與彈簧分離，小球勻速運動到P點，再次通過P點時小球速度沿y軸負方向．求：

（1）勻強電場的場強大小E及小球由靜止釋放運動到O點彈簧彈性勢能的變化量△Ep；
（2）若T₀為已知量，在P點的右側(cè)還存在一點P₀（位于x軸上，圖中未畫出）小球通過P點后，經(jīng)一段時間，通過P₀點時速度沿y正方向，求當t₀取最大值時，B₀應滿足的條件；
（3）若t₀=0，B₀為已知量，經(jīng)過足夠長時間后，將一不計重力的帶電粒子以初速度V沿y軸正方向發(fā)射，該粒子將在xOy平面內(nèi)做周期性的運動，軌跡如圖（c）所示，且有任意時刻該粒子速度的水平分量V_x與其所在位置的y軸坐標值成正比，其比例系數(shù)k與場強大小E無關(guān)，求該粒子運動過程中的最大速度V_m．

Answer 1

分析 （1）粒子從O到P點，粒子做勻速運動，由共點力的平衡條件可得電場強度的方向，再由動能定理求得彈簧的彈性勢能；
（2）小球先做勻速直線運動，再做勻速圓周運動，分析小球的運動過程，則可得出時間關(guān)系，求出周期，可求得磁感應強度
（3）分別求得xy軸方向的分速度，在表示出合速度，根據(jù)粒子做圓周運動得出y軸坐標值與最大速度關(guān)系，兩式相等求解即可．

解答 解：（1）小球A在OP之間內(nèi)做勻速直線運動，由平衡條件得：Eq=mg
解得：E=$\frac{mg}{q}$；
小球到達O點的速度為v₀，有能量守恒可知彈簧的彈性勢能轉(zhuǎn)化為小球的動能，得：△${E}_{P}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
（2）小球A在0至t₀時間做勻速直線運動在t₀至2T₀時間內(nèi)做勻速圓周運動?
設圓周運動半徑為R，周期為T?
要能實現(xiàn)小球A再次過P點時速度沿y軸負方向?則一定有
2T₀-t₀=（n+$\frac{3}{4}$）T（n=0.1，2----）解得：${t}_{0}=2{T}_{0}-\frac{4n+3}{4}T$，
當n=0時，t₀最大，即$\frac{3}{4}T=2{T}_{0}-{t}_{0}$，解得：$T=\frac{4（2{T}_{0}-{t}_{0}）}{3}$①
則由洛侖茲力公式及勻速圓周運動規(guī)律得?
T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$②
由①②聯(lián)立解得：$R=\frac{2（2{T}_{0}-{t}_{0}）{v}_{0}}{3π}$③
qB₀v₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$④
聯(lián)立③④式解得：
B₀=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$=$\frac{3πm}{2q（2{T}_{0}-{t}_{0}）}$
（3）設粒子到達縱坐標y處速度最大，根據(jù)題意知：粒子水平方向速度v_x=ky
不計重力，則豎直方向有牛頓第二定律得：${v}_{y}^{2}=2ay=-\frac{2Eq}{m}y$，
粒子速度v_m=$\sqrt{{v}_{y}^{2}+{v}_{x}^{2}}$=$\sqrt{{k}^{2}{y}^{2}-\frac{2Eq}{m}y}$，y取最大值時，合速度v_m最大，粒子做圓周運動得：$y=\frac{m{v}_{m}}{Bq}$
即：${v}_{m}^{2}={k}^{2}\frac{{m}^{2}{v}_{m}^{2}}{{B}^{2}{q}^{2}}-\frac{2Eq}{m}\frac{m{v}_{m}}{Bq}$，
解得：${v}_{m}=\frac{B{q}^{2}（2E+B）}{{k}^{2}{m}^{2}}$
答：（1）電場強度的大小為E=$\frac{mg}{q}$彈簧彈性勢能的變化量△Ep$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$；
（2）B₀應滿足的條件為B₀=$\frac{3πm}{2q（2{T}_{0}-{t}_{0}）}$
（3）粒子運動過程中的最大速度V_m為$\frac{B{q}^{2}（2E+B）}{{k}^{2}{m}^{2}}$

點評 本題考查帶電粒子在電場及磁場中的運動，題目的難度在于運動過程的多樣性，故在分析時要注意明確運動過程，并合理的運用運動的分解求解．