Question

14．如圖所示，水平放置的平行金屬板間有勻強(qiáng)電場(chǎng)，一根長(zhǎng)為l的絕緣細(xì)繩一端固定在O點(diǎn)，另一端系有質(zhì)量為m并帶有一定電荷的小球，小球原來(lái)靜止在C點(diǎn)，當(dāng)給小球一個(gè)水平速度后，它能在豎直面內(nèi)繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若將兩板間的電壓增大為原來(lái)的3倍，要使小球從C點(diǎn)開(kāi)始在豎直面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，至少要給小球多大的水平速度？在這種情況下，在小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)繩所受的最大拉力是多大？

Answer 1

分析 小球在原來(lái)電場(chǎng)為E情況下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則有mg=qE；當(dāng)電壓增大到電壓增大到原來(lái)的3倍，兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度變?yōu)镋′=3E，則在C點(diǎn)必須給C足夠的速度，讓其能在電場(chǎng)力和重力作用下做圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)繩的拉力為0時(shí)，小球圓周運(yùn)動(dòng)的速度最小，由此可求C點(diǎn)的初速度；
由C到D小球做加速運(yùn)動(dòng)，故速度一直增大，在D點(diǎn)速度最大，此時(shí)繩的拉力最大，由動(dòng)能定理可得D點(diǎn)的速度，進(jìn)而可得繩的最大拉力．

解答 解：小球開(kāi)始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，故mg=qE，
當(dāng)電壓增大到原來(lái)的3倍，故兩極板間的電場(chǎng)強(qiáng)度變?yōu)镋′=3E，
在C點(diǎn)繩的拉力為0時(shí)，小球圓周運(yùn)動(dòng)的速度最�。�
$qE′-mg=m\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$，
解得：
${v}_{C}=\sqrt{2gl}$，
由C到D，依據(jù)動(dòng)能定理可得：
$3qE′•2l-mg2l=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
解得：
${v}_{D}=\sqrt{10gl}$，
小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)繩所受的最大拉力在D位置，此時(shí)繩的拉力和重力提供向心力，由牛頓第二定律可得：
$T+mg-qE′=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{l}$，
解得：
T=12mg．
答：
要使小球從C點(diǎn)開(kāi)始在豎直面內(nèi)繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，至少要給的水平速度為${v}_{C}=\sqrt{2gl}$；在這種情況下，在小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中細(xì)繩所受的最大拉力是12mg．

點(diǎn)評(píng) 該題不同于一般的繩桿模型問(wèn)題，這里涉及的不是小球能不能到最高點(diǎn)的問(wèn)題，而是小球一開(kāi)始能不能做圓周運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題，電場(chǎng)變化后，若不給小球初速度，小球就會(huì)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．