Question

17．如圖所示，質量m=1kg的長木板A放在水平地面上，在木板的最右端放一質量也為m=l kg的物塊B．木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.2，物塊與木板間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.1．現(xiàn)用一水平力F=9N作用在木板上，使木板由靜止開始勻加速運動，經(jīng)過t₁=1s，撤去拉力．最終物塊沒有滑離木板．設物塊與木板間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．（g取10m/s²）求：
（1）撤去拉力時，木板的速度大小v₁．
（2）木板的最小長度L．
（3）物塊最終與木板右端的距離s．

Answer 1

分析 （1）對木板進行受力分析，由牛頓第二定律求出加速度，然后由速度公式即可求出速度；
（2）求出物塊的加速度與位移，然后求出木板減速的加速度，在求出二者速度相等時的速度，最后求出木板的長度；
（3）分別求出它們的位移即可求出物塊最終與木板右端的距離s．

解答 解：（1）以木板為研究對象，豎直方向：mg+mg=F_N
水平方向：F-μ₁F_N-μ₂mg=ma₁
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{1}=4m/{s}^{2}$
所以，撤去拉力時，木板的速度大小：v₁=a₁t₁=4×1=4m/s
（2）1s內(nèi)木板的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×4×{1}^{2}=2$m
以物塊為研究對象，水平方向：ma₂=μ₂g
所以：${a}_{2}={μ}_{2}g=0.1×10=1m/{s}^{2}$
1s內(nèi)物塊的位移：${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×1×{1}^{2}=0.5$m
撤去拉力后物塊將繼續(xù)加速一段時間，而木板做減速運動，設加速度為a₃，則：
-μ₂mg-μ₁•2mg=ma₃
代入數(shù)據(jù)得：${a}_{3}=-5m/{s}^{2}$
設再經(jīng)過t₂時間二者的速度相等，則：
v₁+a₃t₂=a₂（t₁+t₂）
代入數(shù)據(jù)得：t₂=0.5s
t₂時間內(nèi)二者的位移：${x}_{1}′={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$
${x}_{2}′=\frac{1}{2}{a}_{2}（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$
木板的長度至少為：L=x₁+x₁′-x₂-x₂′
代入數(shù)據(jù)得：L=2.25m
（3）達到相等的速度為：v′=a₂（t₁+t₂）=1×（1+0.5）=1.5m/s
達到相等的速度后，物塊和木板都做減速運動，直到停止，物塊的加速度小，相對于木板向右運動，則：
木板的加速度：-μ₁•2mg+μ₂mg=ma₄
物塊的加速度保持不變，則：${x}_{1}″=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{4}}$，${x}_{2}″=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$
由幾何關系：L+x₁″=x₂″+s
聯(lián)立得：s=1.5m
答：（1）撤去拉力時，木板的速度大小是4m/s．
（2）木板的最小長度L是2.25m．
（3）物塊最終與木板右端的距離是1.5m．

點評 本題關鍵明確木塊和木板的運動規(guī)律和受力特點，根據(jù)牛頓第二定律求解出加速度后根據(jù)運動學公式規(guī)律聯(lián)立求解．