Question

5．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有一質(zhì)量為M的光滑“π”形線框EFCD，EF長為L，電阻為r，F(xiàn)C=ED=2L，電阻不計(jì)．FC、ED的上半部分（長為L）處于勻強(qiáng)磁場Ⅰ區(qū)域中，且FC、ED的中點(diǎn)與其下邊界重合．質(zhì)量為m、電阻為3r的金屬棒用承受最大拉力為2mg的絕緣細(xì)線懸掛著，其兩端與C、D兩端點(diǎn)接觸良好，處在勻強(qiáng)磁場Ⅱ區(qū)域中，并可在FC、ED上無摩擦滑動．現(xiàn)將“π”形線框由靜止釋放，當(dāng)EF到達(dá)磁場Ⅰ區(qū)域的下邊界時(shí)速度為v，細(xì)線恰好斷裂，Ⅱ區(qū)域內(nèi)磁場立即消失．重力加速度為g．求：
（1）整個過程中，回路中電流所做的功；
（2）I區(qū)域磁場B₁和Ⅱ區(qū)域磁場B₂的關(guān)系式；
（3）線框的EF邊追上金屬棒CD時(shí)，金屬棒CD下落的高度．

Answer 1

分析 （1）對線框根據(jù)動能定理求解回路中電流所做的功；
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路的歐姆定律求解電流強(qiáng)度，對CD棒，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件列方程求解B₁和B₂的關(guān)系式；
（3）分析繩子斷裂后二者的運(yùn)動情況，根據(jù)運(yùn)動學(xué)公式求解相遇的時(shí)間，再根據(jù)自由落體運(yùn)動的位移時(shí)間關(guān)系求解位移．

解答 解：（1）設(shè)整個過程中，回路中電流所做的功為W，根據(jù)動能定理可得：
$MgL+W=\frac{1}{2}M{v}^{2}$，
解得：$W=\frac{1}{2}M{v}^{2}-MgL$；
（2）當(dāng)線框的速度為v時(shí)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律可得感應(yīng)電動勢E=B₁Lv，
此時(shí)回路中的電流強(qiáng)度為$I=\frac{E}{4r}=\frac{{B}_{1}Lv}{4r}$，
對CD棒，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡條件可得：B₂IL+mg=2mg，
解得：${B}_{1}{B}_{2}=\frac{4mgr}{{L}^{2}v}$；
（3）繩子斷開后，EF和CD下落過程中都是只受重力，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間EF追上CD，則：
vt+$\frac{1}{2}g{t}^{2}$-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=L，
解得：$t=\frac{L}{v}$，
此過程中金屬棒CD下落的高度h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}=\frac{1}{2}g×\frac{{L}^{2}}{{v}^{2}}=\frac{g{L}^{2}}{2{v}^{2}}$．
答：（1）整個過程中，回路中電流所做的功為$\frac{1}{2}M{v}^{2}-MgL$；
（2）I區(qū)域磁場B₁和Ⅱ區(qū)域磁場B₂的關(guān)系式為${B}_{1}{B}_{2}=\frac{4mgr}{{L}^{2}v}$；
（3）線框的EF邊追上金屬棒CD時(shí)，金屬棒CD下落的高度為$\frac{g{L}^{2}}{2{v}^{2}}$．

點(diǎn)評 對于電磁感應(yīng)問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點(diǎn)是分析安培力作用下導(dǎo)體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關(guān)系等列方程求解．