Question

裝有細砂的木箱在水平軌道上向右滑行，木箱和細砂的總質量為M，木箱與軌道間動摩擦因數為μ．一排人站在O點右側的水平軌道旁，O點與第一個人以及每相鄰的兩個人之間的距離都是L，如圖所示．當木箱經過一人身旁時，此人就一質量為m的沙袋沿豎直方向投入到木箱內，已知M=4m，不計沙袋在空中的運動時間，且沙袋與木箱瞬間就獲得共同速度．木箱停止運動時，箱內一共有兩個沙袋．求木箱通過O點時速度v₀的范圍．

Answer 1

分析：木箱由O點滑行到第一個人的過程中，由動能定理得到木箱滑行到第一個人速度的表達式．第一個人將沙袋豎直投入木箱內，系統(tǒng)水平方向動量守恒，即可由動量守恒得到沙袋投入木箱后共同速度表達式．木箱由第一個人滑行到第二個人的過程中，運用動能定理得到木箱滑行到第二個人速度的表達式．第二個人將沙袋投入木箱，由動量守恒
得到共同速度，要使v₀最小時，此速度為0，即可求得 v₀最小值．同理得到木箱滑行到第三個人時速度表達式，當此速度為零，v₀最大，求出最大值，即可得解．

解答：解：木箱由O點滑行到第一個人的過程中，由動能定理
-μMgL=

1

2

M

v

2 1

-

1

2

M

v

2 0

  ①
 第一個人將沙袋投入木箱，由動量守恒  
  Mv₁=（M+m）

v

′ 1

   ②
木箱由第一個人滑行到第二個人的過程中，由動能定理
-μ（M+m）gL=

1

2

(M+m)

v

2 2

-

1

2

(M+m)v1′² ③
 第二個人將沙袋投入木箱，由動量守恒
 （M+m）v₂=（M+2m）v₂′④
當v₀最小時，v₂=0   ⑤
由①②③可得v₀=

82μgL

4

  ⑥
木箱由第二個人滑行到第三個人的過程中，由動能定理
-μ（M+2m）gL=

1

2

（M+2m）v₃²-=

1

2

（M+2m）v₂^′2  ⑦
當v₀最大時，v₃=0   ⑧
由①②③④⑦可得v₃=

154μgL

4

     ⑨
所以木箱在O點的速度范圍

82μgL

4

＜v₀＜

154μgL

4

⑩
答：
木箱通過O點時速度v₀的范圍為

82μgL

4

＜v₀＜

154μgL

4

．

點評：本題采用歸納法研究物理過程，根據動能定理和動量守恒進行研究，要總結規(guī)律，得到速度最小和最大的條件進行求解．