Question

裝有細(xì)砂的木箱在水平軌道上向右滑行，木箱和細(xì)砂的總質(zhì)量為M，木箱與軌道間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．一排人站在O點(diǎn)右側(cè)的水平軌道旁，O點(diǎn)與第一個(gè)人以及每相鄰的兩個(gè)人之間的距離都是L，如圖所示．當(dāng)木箱經(jīng)過一人身旁時(shí)，此人就一質(zhì)量為m的沙袋沿豎直方向投入到木箱內(nèi)，已知M=4m，不計(jì)沙袋在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，且沙袋與木箱瞬間就獲得共同速度．木箱停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，箱內(nèi)一共有兩個(gè)沙袋．求木箱通過O點(diǎn)時(shí)速度v₀的范圍．

Answer 1

分析：木箱由O點(diǎn)滑行到第一個(gè)人的過程中，由動(dòng)能定理得到木箱滑行到第一個(gè)人速度的表達(dá)式．第一個(gè)人將沙袋豎直投入木箱內(nèi)，系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，即可由動(dòng)量守恒得到沙袋投入木箱后共同速度表達(dá)式．木箱由第一個(gè)人滑行到第二個(gè)人的過程中，運(yùn)用動(dòng)能定理得到木箱滑行到第二個(gè)人速度的表達(dá)式．第二個(gè)人將沙袋投入木箱，由動(dòng)量守恒
得到共同速度，要使v₀最小時(shí)，此速度為0，即可求得 v₀最小值．同理得到木箱滑行到第三個(gè)人時(shí)速度表達(dá)式，當(dāng)此速度為零，v₀最大，求出最大值，即可得解．

解答：解：木箱由O點(diǎn)滑行到第一個(gè)人的過程中，由動(dòng)能定理
-μMgL=

1

2

M

v

2 1

-

1

2

M

v

2 0

  ①
 第一個(gè)人將沙袋投入木箱，由動(dòng)量守恒  
  Mv₁=（M+m）

v

′ 1

   ②
木箱由第一個(gè)人滑行到第二個(gè)人的過程中，由動(dòng)能定理
-μ（M+m）gL=

1

2

(M+m)

v

2 2

-

1

2

(M+m)v1′² ③
 第二個(gè)人將沙袋投入木箱，由動(dòng)量守恒
 （M+m）v₂=（M+2m）v₂′④
當(dāng)v₀最小時(shí)，v₂=0   ⑤
由①②③可得v₀=

82μgL

4

  ⑥
木箱由第二個(gè)人滑行到第三個(gè)人的過程中，由動(dòng)能定理
-μ（M+2m）gL=

1

2

（M+2m）v₃²-=

1

2

（M+2m）v₂^′2  ⑦
當(dāng)v₀最大時(shí)，v₃=0   ⑧
由①②③④⑦可得v₃=

154μgL

4

     ⑨
所以木箱在O點(diǎn)的速度范圍

82μgL

4

＜v₀＜

154μgL

4

⑩
答：
木箱通過O點(diǎn)時(shí)速度v₀的范圍為

82μgL

4

＜v₀＜

154μgL

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題采用歸納法研究物理過程，根據(jù)動(dòng)能定理和動(dòng)量守恒進(jìn)行研究，要總結(jié)規(guī)律，得到速度最小和最大的條件進(jìn)行求解．