Question

7．如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的邊界CD和EF相互平行，寬度為d，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，一帶負(fù)電粒子垂直磁場(chǎng)方向射入，入射方向與CD邊界夾角為θ=$\frac{π}{3}$，已知粒子的質(zhì)量為m，電荷量為q，不計(jì)粒子重力．
（1）若粒子垂直邊界EF射出磁場(chǎng)，求粒子運(yùn)動(dòng)的速率和在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）若粒子運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與邊界EF相切，則粒子的速率為多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，結(jié)合幾何關(guān)系可確定半徑的范圍，即可求解；
（2）根據(jù)題意確定運(yùn)動(dòng)軌跡，再由圓心角與周期公式，即可確定最長(zhǎng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；根據(jù)半徑公式與半徑的取值，即可求解．

解答 解：（1）若粒子帶負(fù)電，且恰好能垂直邊界EF射出磁場(chǎng)，它運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖1，

則運(yùn)動(dòng)的半徑：$R=\fracnwyasem{cosθ}=\frac0rdqnpc{cos\frac{π}{3}}=2d$，
運(yùn)動(dòng)的過(guò)程洛倫茲力提供向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
整理得：$v=\frac{qB•2d}{m}$
周期：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
由圖可知，粒子的偏轉(zhuǎn)角是（90°-$\frac{π}{3}$）=30°
所以運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$t=\frac{30°}{360°}•T=\frac{1}{12}•\frac{2πm}{qB}=\frac{πm}{6qB}$
（2）若粒子運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與邊界EF相切，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2．

由幾何關(guān)系可得：${R}_{2}+{R}_{2}•cos\frac{π}{3}=d$
所以：R₂=$\frac{2}{3}d$ ①
由洛侖茲力和向心力公式可得：$qv′B=\frac{m{v′}^{2}}{{R}_{2}}$
所以：$v′=\frac{2qBd}{3m}$
答：（1）若粒子垂直邊界EF射出磁場(chǎng)，粒子運(yùn)動(dòng)的速率是$\frac{2qBd}{m}$，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{πm}{6qB}$；
（2）若粒子運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與邊界EF相切，則粒子的速率為$\frac{2qBd}{3m}$

點(diǎn)評(píng) 考查牛頓第二定律的應(yīng)用，掌握幾何關(guān)系在題中的運(yùn)用，理解在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間與圓心角的關(guān)系．注意本題關(guān)鍵是畫出正確的運(yùn)動(dòng)軌跡