Question

13．“神州八號”與“天宮一號”對接前各自繞地球運動，設(shè)“天宮一號”在半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁，“神州八號”在半徑為r₂的圓軌道上運動，r₁＞r₂，則（　　）

• A． “天宮一號”的運行速度大于7.9km/s
• B． “神州八號”的周期為T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
• C． 地球的質(zhì)量為$M=\frac{{4{π^2}r_1^3}}{GT_1^2}$
• D． 地球表面的重力加速度為$g=\frac{{4{π^2}{r_1}}}{T_1^2}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得出速度公式$v=\sqrt{\frac{GM\;}{r}}$，由$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=$mr（\frac{2π}{{T}_{\;}^{\;}}）_{\;}^{2}$，得出周期由于半徑的關(guān)系．可以知道物體的速度與軌道半徑一一對應(yīng)；又因為$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$，得出加速度$a=\frac{GM}{{r}^{2}}$，加速度的與軌道半徑的關(guān)系．

解答 解：A、根據(jù)題意可知，“天宮一號”的在軌運行高度大于于近地衛(wèi)星的高度，由衛(wèi)星的環(huán)繞速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$可知，高度越低速度越大，所以“天宮一號”的在軌運行速度小于第一宇宙速度．故A錯誤；
B、根據(jù)$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=mr$（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}$得，T=$\sqrt{\frac{{{4π}_{\;}^{2}r}_{\;}^{3}}{GM}}$  ①，所以：$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$，${T}_{2}={T}_{1}\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，故B正確；
C、由①式得：$M=\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$．故C正確；
D、設(shè)地球的半徑是R，由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$地球表面的重力加速度為：$g=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}{R}^{2}}$．故D錯誤．
故選：BC

點評 一個天體繞中心天體做圓周運動時萬有引力提供向心力，靈活的選擇向心力的表達式是我們順利解決此類題目的基礎(chǔ)．我們要按照不同的要求選擇不同的公式來進行求解．