Question

8．如圖所示，質量分別為m、2m的物體a、b通過輕繩和不計摩擦的定滑輪相連，均處于靜止狀態(tài)．a與水平面上固定的勁度系數(shù)為k的輕質彈簧相栓連，0點有一擋板，若有物體與其垂直相撞會以原速率彈回，現(xiàn)剪斷a、b之間的繩子，a開始上下往復運動．b的正下方有一高度可忽略不計的弧形擋板，能夠使得b下落至P點時以原速率水平向右運動，當b靜止時，a恰好首次到達最低點，已知PQ長s_o，重力加速度g．b距P高h，且僅經過P點一次，b滑動時動摩擦因數(shù)a、b均可看做質點，彈簧在彈性限度范圍內，試求：
（1）物體a的最大速度及物體a第一次運動到最低點所需要的時間；
（2）物體b停止的位置與P點距離．

Answer 1

分析 （1）當彈簧彈力與a的重力相等時a的速度最大，由機械能守恒定律可以求出最大速度．根據(jù)彈簧振子的周期公式求出a的運動時間．
（2）由動能定理求出b在水平面上的路程，然后答題．

解答 解：（1）沒有間斷細線前，對a，由平衡條件得：2mg=mg+kx₁，
當彈簧彈力與a的重力相等時a的速度最大，由平衡條件得：mg=kx₂，
解得：x₁=x₂=$\frac{mg}{k}$，
初速度位置與速度最大位置彈簧的彈性勢能E_P相等，由機械能守恒定律得：E_P+mg（x₁+x₂）=E_P+$\frac{1}{2}$mv²，
解得，最大速度：v=2g$\sqrt{\frac{m}{k}}$；
b自最高點下落的時間：${t}_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
b下落到P的速度：$v=\sqrt{2gh}$
b在水平面上運動的整個過程可以看做是勻減速直線運動，加速度大小為a=μg
又：v=at
所以到停止所用的時間：${t}_{2}=\frac{v}{a}=\frac{1}{μ}•\sqrt{\frac{2h}{g}}$
物體a第一次運動到最低點所需要的時間：t=t₁+t₂=$（1+\frac{1}{μ}）\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（2）在整個運動過程中，對b，由動能定理得：
2mgh-μ•2mgs=0-0，
解得：s=$\frac{h}{μ}$，
如果b與Q發(fā)生碰撞，則物體b停止的位置與P點距離：d=s₀-（s-s₀）=2s₀-$\frac{h}{μ}$，
如果b與Q不發(fā)生碰撞，則物體b停止的位置與P點距離：d=s=$\frac{h}{μ}$；
答：（1）物體a的最大速度為2g$\sqrt{\frac{m}{k}}$；物體a第一次運動到最低點所需要的時間為$（1+\frac{1}{μ}）\sqrt{\frac{2h}{g}}$；
（2）物體b停止的位置與P點距離為2s₀-$\frac{h}{μ}$或$\frac{h}{μ}$．

點評 本題考查了求速度、時間、距離問題，分析清楚物體有難度過程，應用機械能守恒定律、動能定理即可正確解題．